Квадратные уравнения с параметрами

     Ответ: при р = уравнение имеет ровно одно решение.

     D=4(2а+ l)² - 4(а - 1) (4а+3). После упрощений получаем  = 5а+4.

     Из  уравнения 5a+4=0 находим второе контрольное значение параметра

       а = - . При этом если a < - , то D < 0; если a > - , то D > 0.

     Таким образом, осталось решить уравнение (1) в случае, когда a < - и в случае, когда a > -  и когда а = - .

     Если  a < - , то уравнение (1) не имеет действительных корней;

     Если  же a > - , то находим корни по известной формуле корней квадратного уравнения:

     х₁‚₂=  .

     Если  а = -4/5, то х₁ = х₂ = -1/3.

     Ответ: 1) если a < -4/5, то корней нет;

                  2) если а = 1, то х =-7/6;

                  3) если a > -4/5 (но а≠1), то x₁=   , x₂= ;

                 4) если а = -4/5, х = -1/3.

     Пример 11. Составить квадратное уравнение по его корням   и .

     Решение. Так как х₁ =, х₂ = корни уравнения х² + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, имеем:

     р = - (х₁+ х₂) = - ( + ) = ,

     q = х₁∙ х₂ = ∙= . 

     Ответ: Искомое уравнение имеет вид  х² +х + = 0.

     Пример  12. При каких значениях параметра а корни уравнения

     2ах² - 2х - 3а - 2 = 0 меньше 1?

     Решение.

     Если а = 0, то уравнение принимает вид -2х – 2 = 0 и х = -1 (< 1).

     Если а≠0, то заданное уравнение является квадратным. Графиком функции  у = f(x), где f(x)=2ах² — 2х — 3а — 2 , является парабола с ветвями вверх, если 2а>0, и ветвями вниз, если 2a<0. Поскольку корни уравнения по условию должны быть меньше 1, упомянутая выше парабола должна располагаться в координатной плоскости так, как изображено на рис. 6 (для случая 2а>0) или на рис. 7 (для случая 2а<0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                 
 

        Рис. 6                                                       Рис. 7

     Дадим аналитическое описание геометрической модели, представленной на рис. 6.

     Во-первых, при 2а>0 ветви параболы направлены вверх. Во-вторых, парабола обязательно пересекается с осью абсцисс (в крайнем случае касается ее), иначе у квадратного уравнения не будет корней. Корни есть, значит, дискриминант D неотрицателен, т. е. D≥0. В-третьих, в точке х=1 имеем f(1)>0. В-четвертых, f(1)>0, поскольку касательная к параболе в точке х=1 составляет с осью абсцисс острый угол.

     Итак, получаем систему неравенств — аналитическую  модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис. 5: 

     Аналогичные рассуждения позволяют составить  вторую систему неравенств - аналитическую  модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис. 5: 
 

     Решим первую систему неравенств. Составим выражение для дискриминанта  D квадратного трехчлена 2ах² — 2х — 3а — 2:

     D = 4 - 4∙2а∙(-3а - 2) = 24а² + 16а + 4.

     Составим  выражение для f(1):

     f(1) = 2а∙1 — 2∙1 — 3а — 2 = -а -4.

     Составим  выражение для f ‘(1):

     f (х) = 2а∙2х — 2 = 4ах — 2;

     f(1) = 4а — 2.

     Таким образом, первая система неравенств принимает вид 

     Эта система не имеет решений, поскольку  из первого ее неравенства получаем a > -4, что не может одновременно выполняться ни при каких значениях а.

     Вторая  система неравенств принимает вид 

     Сразу обратим внимание на то, что квадратный трехчлен 24а² + 16а + 4 имеет отрицательный дискриминант (D = 16² – 4∙4∙24 < 0) и положительный старший коэффициент. Значит, при всех значениях а выполняется неравенство 24а² + 16а + 4 > 0, а потому квадратное неравенство в данной системе неравенств можно отбросить. Далее имеем 

     Решение этой системы: -4 < a < 0.

     Итак, мы нашли все интересующие нас  значения параметра а:

     а = 0; -4 < a < 0.

     Ответ: -4 < a ≤ 0. 

     2. Методика обучения решению квадратных уравнений с параметрами.

     2.1. Профильная дифференциация обучения в современной школе.

     Согласно  решению Федерального координационного совета по общему образованию, с 2006/2007 учебного года начался широкий переход  на профильное обучение в старших  классах общеобразовательных учреждений Российской Федерации.

     Дифференциация  учащихся проводилась на основании  учета индивидуальных различий и, следовательно, позволяла проводить обучение с  точки зрения личностного подхода. Кроме того, предлагаемый вид дифференциации обучения не только базировался на учете индивидуальных особенностей учащихся, но и был нацелен на развитие этих особенностей как основу становления личности. Поэтому дифференциация обучения выступала как средство личностно ориентированного образования.

     Под дифференциацией обучения понимается разделение, расчленение, расслоение компонентов  обучения на части с учетом индивидуальных особенностей учащихся. Различались  понятия «дифференциация обучения»  и «дифференцированное обучение». Соглашаясь с определением В.А.Гусева, под дифференцированным обучением  понимаем учебно-воспитательный процесс  с учетом доминирующих особенностей групп учащихся.

     Рассмотрение  психологических основ дифференциации обучения было направлено на выявление  личностных особенностей, учет и развитие которых при организации дифференцированного обучения в предпрофильных классах. Ориентация обучения на подготовку учащихся к выбору профиля позволила выделить такие особенности как интересы, склонности; запас знаний, умений и навыков; общие и специальные способности.

     Старшая ступень современной школы работает сегодня в рамках профильного  обучения. Наиболее распространены четыре профиля:

     - физико-математический;

     - экономический; 

     - химико-биологический; 

     - гуманитарный.

     Развитию  математических способностей школьников содействуют такие особенности  содержания учебного материала, как  абстрактность, обобщенность, формализованность, логичность, наличие взаимно обратных утверждений. Для формирования экономического стиля мышления важно, чтобы содержание учебного материала было четко структурировано и систематизировано, включало различные подходы к решению проблем. Для развития способностей естественно-научного мышления имеют значение исследовательский характер, обобщенность изложения, привлечение наглядности. Развитию гуманитарных способностей отвечает содержание, наполненное образами, личностными отношениями, эстетикой, излагаемое естественным языком.

     Так, содержание в том случае стимулирует  развитие познавательного интереса, если оно является занимательным, постоянно  обновляется, включает исторические сведения, показывает современные достижения науки, имеет личностную значимость для учащегося.

     Предпрофильная подготовка учащихся основной школы

     С переходом на профильное обучение в  старших классах, была введена в 9-х классов предпрофильная подготовку. Целью подготовительной работы является профильное самоопределение школьников. По мнению многих педагогов и психологов (Н.В.Гениной, О.Н.Зайцевой, В.И.Жуковской, А.Я.Журкиной, Л.А.Йовайши, Е.А.Климова, А.В.Сухарева, С.Н.Чистяковой и других) на профессиональное и профильное самоопределение личности влияют ее направленность, способности и приобретенные знания и умения. В частности, для профильного самоопределения значимыми являются познавательные интересы, общие и специальные способности к учебной деятельности, уровень знаний и умений. Для выявления названных свойств личности психологами и педагогами предлагаются различные средства: беседы, консультации, анкетирование, психологическое и дидактическое тестирование, которые обычно проводятся на специально отведенных для этого уроках и во внеурочное время.

     Существуют  также виды, или типы, курсов по выбору, которые также помогают с определением профиля.

     Предметные  курсы – содержание и форма  организации этих курсов должны быть направлены на расширение знаний ученика  по тому или иному учебному предмету.

     Ориентационные  курсы представляют собой занятия, способствующие самоопределению ученика  относительно профиля обучения в  старшей школе. Эти курсы рекомендуется  организовывать в виде учебных модулей  и делать их относительно краткосрочными (месяц, четверть).

     В литературе выделяют следующие виды курсов:

     - предметно-ориентированные, межпредметные, надпредметные (по отражению в содержании курса того или иного школьного предмета);

     - расширяющие, углубляющие какой-то раздел базового учебного предмета, обобщающие теоретический или практический материал разделов (по отражению в содержании курса тех или иных разделов одного предмета).

     - традиционные предметные курсы,  основанные на использовании  имеющегося методического обеспечения,  и авторские курсы, строящиеся  с использованием нетрадиционных  учебных технологий. nsportal.ru ] 

2.2. Анализ учебных пособий на предмет изучения

     Рассмотрим, как представлена тема «Квадратное уравнение с параметрами» в учебных пособиях таких авторов, как Алимов Ш.А. «Алгебра 8 класс» [1], Мордкович А.Г. «Алгебра 8 класс» [4] , Макарычев Ю.Н. «Алгебра 8 класс» [3]. При анализе будем обращать внимание на теоретическую и практическую составляющие учебного материала.

     Учебник Алимова Ш.А [1].

     В параграфе «Квадратное уравнение и его корни» говорится лишь о том, что уравнение не имеет корней при b² – 4ас < 0 и а ≠ 0. В темах «Квадратное уравнение и его корни», «Функция у=ах²» встречаются задачи с параметрами такого типа: «Найти все значения а, при которых уравнение:

  ах² + 3х + 2=0 1) не имеет корней, 2) имеет 2 различных корня, 3) один корень».

     Далее при изучении квадратных уравнений авторы не используют параметр, но большое внимание уделяют параметру при повторении. Предлагаются задания, содержащие параметр, в основном, для повторения квадратных уравнений. Все задания одного характера - исследовать корни квадратного уравнения, то есть найти количество корней или сами корни в зависимости от значений параметра.

     Аналогичные уравнения авторы приводят для внеклассной работы (№№ 442-444, 464, 465).

     Полезным  является то, что авторы включали параметр, именно там, где его использование очень широко - при изучении квадратных уравнений. В этой теме количество задач, содержащих параметр, не может быть ограничено.

     Учебник Мордковича А.Г. [4]

     Определение параметра дается в решении конкретного  примера:

     «Решить уравнение х² – (2р+1)х + (р² + р – 2) = 0.

     Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена.

     Найдем  дискриминант: D=9. Далее,