Квадратные уравнения с параметрами

     Содержание 

     Введение……………………………………………………….................2

     1.Теоретические основы решения квадратных уравнений……….......4

     1.1. Понятие квадратного уравнения, его виды ………………………4

     1.2. Методы решения квадратных уравнений ………………………..5

        1.2.1. Аналитический метод…………………………………………...5

       1.2.2. Графический метод……………………………………………...7

     1.3. Прямая и обратная теорема Виета ………………………….........9

     1.4. Квадратные уравнения с параметрами…………………………….10                                              

2. Методика обучения решению квадратных уравнений с            параметрами………………………………………………………………21

     2.1. Профильная дифференциация обучения  в современной школе…21

     2.2. Анализ учебных пособий на  предмет изучения………………….24

     3. Разработка занятий  элективного  курса……………………………..27

     Заключение………………………………………………………………..

     Список  используемых источников……………………………………… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Во  всех сферах жизнедеятельности общества требуются люди, умеющие адаптироваться к быстро изменяющимся условиям, творчески  мыслящие, обладающие навыками исследовательской  работы. В общеобразовательной школе  закладываются основы знаний, происходит формирование и развитие социально-значимых качеств личности. В силу своей  специфики значительную роль в умственном развитии и воспитании подрастающего  поколения играет математика.

     В современных школьных программах по математике отмечается, что принципиальным положением организации педагогического  процесса является дифференциация обучения математике в общеобразовательной  школе. Такой подход к построению учебно-воспитательного процесса предполагает учет возрастных и индивидуальных особенностей личности каждого школьника, ориентирует  на интеллектуально-развивающее обучение.

     В качестве содержательной основы для  построения совокупности заданий развивающего характера могут выступать задачи с параметрами. Наиболее рациональное решение таких задач связано с актуализацией обширного учебного материала и достигается путем комплексного применения аналитических и конструктивных приемов. Это позволяет рассматривать задачи с параметрами как содержательный материал для полноценной математической деятельности. В последние годы заметно возрос интерес к задачам с параметрами. Традиционно стало предъявление таких задач на Едином государственном экзамене. Это связано с высокой диагностической и прогностической ценностью задач с параметрами, которая заключается, прежде всего, в возможности выявить уровень фактических знаний и степень сформированности навыков исследовательской деятельности.  

     Объект  исследования - процесс обучения математике в основной школе.

     Предмет исследования – изучения квадратных уравнений с параметрами.

     Цель  работы: на основе систематизации знаний о подходах к решению квадратных уравнений с параметрами разработать элективный курс для учащихся 9-х классов.

     Для достижения цели поставлены следующие  задачи:

     - изучить учебно-методическую и математическую литературу на предмет исследования;

     - познакомиться с педагогическим опытом обучения решению квадратных уравнений с параметрами;

     - разработать занятия элективного курса  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. Теоретические основы решение квадратных уравнений с параметрами.

              1.1. Понятие квадратного уравнения, его виды

     Квадратным или уравнением второй степени называется уравнение вида ах² + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, причем а ≠ 0[1].

     Рассмотрим  основные виды квадратных уравнений.

     Квадратное  уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

     Квадратное  уравнение называется приведенным, если коэффициент при        х² равен 1. Общий вид приведенного квадратного уравнения:

     x² + рх + q = 0,

     где p, q - некоторые числа.

     Полное  квадратное уравнение – квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля. Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 второй коэффициент b или свободный член с равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения – проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

     На  рисунке 1 показаны виды квадратных уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     

Квадратные  уравнения       ах2 + bx + c = 0, а≠0

     

а=1, b≠0, с≠0 приведенные квадратные уравнения

     

а≠1, b≠0, с≠0  квадратные уравнения общего вида

            
 
 

     

     

Неполное  квадратное уравнение

      

       
 

     

а≠0,b=0,c=0

     

а≠0,b≠0,с=0

     

а≠0,b=0,с≠0

 
 
 

Рис 1. Виды квадратных уравнений 
 

1.2. Методы решения квадратных уравнений

     Рассмотрим  основные методы решения квадратных уравнений, используемые в школьном курсе математики.

     1.2.1. Аналитический метод

     Выделение полного квадрата

     Пусть a+bx+c=0. Разделим исходное уравнения на a:

     + x+ = 0.

     Если  = ,то данное уравнение можно преобразовать к виду:

     = 0.

     Уравнение имеет один корень: x= − .

     Если  ≠ то прибавим и отнимем число, равное :

     x²+2x+ + = 0.

     Получим уравнение: = − , имеющее два корня:

     =     и   = .

     Использование формулы

     Существуют  специальные формулы, по которым  находят корни квадратного уравнения. Этот способ используется учащимися  наиболее часто, т.к. он самый простой  и понятный.

     1) Пусть  ax² + bx + c = 0 (1).

     Выведем формулу решения уравнения (1). Для  этого, поделив обе части уравнения (1) на а, перейдем к равносильному уравнению:

                                                       x² + x + = 0.

     Добавим и вычтем в левой части , тогда получим:

     x²+x+-+=0    (1)

              Выделяя полный квадрат в уравнении (1), получим:

     (x +)² + = 0    (2)

     или

     (x +)² =      (3)

     Очевидно, что уравнение (3) эквивалентно уравнению (1). Уравнение (3) имеет действительные корни тогда и только тогда, когда  ≥ 0, или         D = b² – 4ac ≥ 0.

     Число D называется дискриминантом квадратного уравнения (1) . Если D ≥ 0, то из равенства (3) имеем x + =   и x + =   .

     Следовательно, если b² – 4ac > 0, то уравнение (1) имеет два действительных корня:

     = ;  = ;

     если  b² – 4ac = 0, то уравнение (1) имеет один действительный корень:    x = - ;

     в случае  b² – 4ac < 0 действительных корней у уравнения нет.

     2) Пусть в уравнении ах² + bx + сх = 0 коэффициент b=2k. Подставив в

     формулу (1) число 2k получим:  x_1,2 = .

     Пример 1. Решить уравнение 3x² – 5x – 1 = 0.

     Решение. Так как дискриминант D=37 уравнения положителен, то имеет два действительных корня: x₁ = , x₂ = .

     Ответ: x₁ = , x₂ = .

     Пример 2.  Решить уравнение 4x² + 12x + 9 = 0. 

     Решение. Дискриминант уравнения D=0, поэтому уравнение имеет единственный корень: x = - .

     Ответ: x = - . 

     Пример 3. Решить уравнение 5x² – 3x + 2 = 0. 

     Решение. Так как D= -31 данного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

     Ответ: действительных корней нет.

     1.2.2. Графический метод

     Квадратные  уравнения можно решать и графически. Решим графически уравнение ах² + bx + c = 0. Оно равносильно уравнению ах² = -(bx+c).

     Построим  графики функций у = ах² (1) и у = -bx –c (2) в одной системе координат (рис. 2). В точках х₁ и х₂ значение обеих функций равны. Следовательно, х₁ и х₂ являются корнями уравнения ах² = -(bx+c) и равносильного ему уравнения ах² + bx + c = 0.

     Если  парабола и прямая касаются, то квадратное уравнение имеет два равных корня.

     Если  же парабола и прямая не пересекаются и не касаются, то квадратное уравнение  не имеет корней.

     Уравнение ах² + bx + c = 0 можно решить иначе, построив параболу

     у= ах² + bx + c и найдя точки ее пересечения с осью Ox, если D≥0   (рис. 3). 
 
 
 

                         
 
 
 
 

                рис. 2                                                         рис. 3

     Пример 4. Решить графически уравнение 2х² + 6х — 5 = 0.

     Решение. При графическом способе решения квадратного уравнения часто бывает целесообразно записать его в виде приведенного уравнения. Данное уравнение примет вид: х²+3х - 2,5 = 0.

     Представим  это уравнение в виде х² = -3х + 2,5. Построим в одной и той же системе координат графики функций у = х² и у = -3х + 2,5 (рис. 4). Найдем абсциссы точек пересечения параболы у = х² и прямой у = -3х + 2,5. Приближенные значения корней: -3,7 и 0,6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                Рис. 4 
 

     1.3. Прямая и обратная теорема Виета

     Теорема 1.

     Пусть х₁, х₂ – корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0. Тогда сумма корней равна , а произведение корней равно , т.е.

     , 

     Можно сформулировать теорему для приведенного квадратного уравнения.

     Теорема 2.

     Если  приведенное квадратное уравнение  х² + рх + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна –р, а произведение равно q, то есть