Контрольная по "математике"

Задание № 1.  

Даны  вершины А (х₁; у₁), В (х₂; у₂), С (х₃; у₃) треугольника АВС. Требуется найти: А) уравнение стороны АС; Б) уравнение высоты, проведенной из вершины В; В) длину высоты, проведенной из вершины А; Г) величину угла В (в радианах); Д) уравнение биссектрисы угла В.  

А(6; 3), В(-10; -9), С(-3; 15).

А) уравнение  прямой

Множество точек  прямой можно задать в виде вектора

{x - x0 ; y – y0} = MM0

AC = (-9;12)

Перпендикулярный  к вектору AC вектор:

(4; 3) (так как  его скалярное произведение на  AC = 0)

Скалярное произведение это вектора на вектор MM0 = 0

4(x-x0)+3(y-y0)=0

4(x-6)+3(y-3)=0

4x+3y – 33 = 0

Б) Высота - прямая проходящая через B и перпендикулярная AC

(x+10; y +9) *(скалярно на) (4; 3)

4(x+10)+3(y+9)=0

4x+3y+67=0

В)

Найдем длины  сторон:

AC = ((-3-6)^2+(15-3)^2)^0.5=15

AB= ((-10-6)^2+(-9-3)^2)^0.5=20

BC=((-3+10)^2+(15+9)^2)^0.5=25

По теореме  косинусов:

AC^2 = AB^2 + BC^2 –  2 AB* BC cos B

cosB = [AB^2+BC^2 –  AC^2]/[2 AB BC]= 4/5

B = arcos(4/5)

Д) Аналогично найдем уравнений прямой AB

AB = (-16;-12)

вектор (-3;4) перпендикулярен  ему и любой точке прямой AB

(x+10)*(-3)+(y+9)*4 = 0

-3x+4y+6=0

Д)Чтобы найти  уравнение биссектрисы достаточно повернуть BA вокруг точки B на угол arcos(4/5)/2: 

Задание № 2. Даны вершины А₁(х₁; у₁; z₁), A₂(х₂; у₂; z₂), A₃(х₃; у₃; z₃), A₄(x₄; y₄; z₄). Средствами векторной алгебры найти: А) длину ребра А₁A₂; Б) угол между ребрами А₁A₂ и А₁A₃; В) площадь грани А₁A₂A₃ ; Г) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A₄; Д) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины A₄; Е) объем пирамиды А₁A₂A₃A₄.  

2) А₁(4; 4; 5), A₂(10; 2; 3), A₃(-3; 5; 4), A₄(6; -2; 2).

А) |A1A2| = ((10-4)^2+(2-4)^2+(3-5)^2)^0.5=2*11^0.5

Б) A1A2 = (6; -2; -2)

    A1A3 = (-7;1;-1)

Cos ^(A1A2, A1A3) = [X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2]/[(X1^2 + Y1^2 +Z1^2)(X2^2+Y2^2+Z2^2)]^0.5

=  (-42-2-2)/[(36+4+4)(49+2)]^0.5 = -46/ [44*51]^0.5

^ = arcos -46/ [44*51]^0.5

 В)|A1A3|=((-3-4)^2+(5-4)^2+(4-5)^2)^0.5=51^0.5

S= |A1A2|*|A1A3| sin A1/2

Sin A1 = (1-cos^2[A1])^0.5= (1-cos^2[A1])^0.5 = ([44*51 – 46^2]/44*51)^0.5=(32/[11*51])^0.5

S = (32/[11*51])^0.5 * 51^0.5*2*11^0.5 / 2=32^0.5=4*2^0.5

Г) -

Д) -

Е) Объём = 1/3 S * h 

Задание № 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера 

Найдем определитель

∆ = 1(-3+4)+3(-6-4)+1(4+2)=-23

Заменяем столбец x столбцом правых частей и находим определитель:

-7 -3 1

4 1 -2

2 2 -3

∆x = -7(-3+4)+3(-12+4)+(8-2)=-7-24+6=-25

1 -7 1

2 4 -2

-2 2 -3

∆y = (-12+4)+7(-6-4)+(4+8)= -8-70+12=-66

1 -3 -7

2 1 4

-2 2 2

∆z = (2-8)+3(4+8)-7(4+2)= -6+36-42=-12

x = ∆x/∆ = -25/-23 = 25/23

y = ∆y/∆ = -66/-23 = 66/23

z = ∆z/∆ = -12/-23=12/23 

Задание № 4. Решить 3 системы методом Гаусса (в таблицах даны элементы расширенных матриц систем 4-х уравнений с 4-мя неизвестными).  

• Вычтем из последний строки первую:

 

• Вычтем  из третий первую и вторую:

• Вычтем  из первой удвоенную вторую

 

Вычтем из третьей  первую умноженную на 7/3

• Вычтем  из третьей строки четвертую, умноженную на 11/3

• Перепишем в ступенчатом виде:

• x4 = -21; x3 = (3 +21)/(-3)=-8;x2 = (-3 -27+24)/3 = 0; x1 = 7 + 21 = 28

2)

• Вычтем из последней 2ую

 

• Вычтем из 3ей 1ую:

• Вычтем из 1ой 2ую, умноженную на 2:

->Прибавим  к 1ой 3ью и вычтем 4ую

• Прибавим к 3-ей удвоенную последнюю: