Исследование  формы поверхности  второго порядка методом сечения плоскостями

      Если  дано каноническое уравнение поверхности  S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:

      Z = h — параллельными координатной плоскости XO'Y,

      X = h — параллельными координатной плоскости YO'Z,

      Y = h — параллельными координатной плоскости XO'Z.

      Уравнения проекций линий пересечения поверхности S c этими плоскостями на соответствующие координатные плоскости получаются в результате подстановки в каноническое уравнение поверхности S Z = h, X = h, Y = h соответственно.

Построение  поверхности в  канонической системе  координат

Рис. 11. Поверхность в канонической системе координат

Параболоиды

     Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид   где   и   -- положительные числа. Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости   ,   и координатная ось   . Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому   Координаты только одной точки плоскости   могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости  , поэтому   Это уравнение параболы на плоскости   . Построим ее (рис. 13.19). Сечение плоскостью   также является параболой. Нарисуем и ее (рис. 13.19). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью   . Уравнения этой линии   Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если   . Эта точка называется вершиной параболоида. Пусть   . Первое уравнение преобразуем к виду  то есть к виду   ( 13 .14) где   ,   . Уравнение ( 13.14 ) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При   плоскость поверхность не пересекает.  Рис. 13 . 19 .Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями Найдем сечения параболоида плоскостями   , параллельными плоскости   . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям  и являются параболами, такими же, как в плоскости   , только сдвинутыми вверх на величину   , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью   (рис. 13.20).  Рис. 13 . 20 .Дополнительные сечения параболоида Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости   . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости   , а вершина скользила по параболе в плоскости  . Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.21.  Рис. 13 . 21 .Эллиптический параболоид Если в уравнении ( 13.13 )   , то сечения плоскостями, параллельными плоскости  , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости  , вокруг оси   (рис. 13.22).   Рис. 13 . 22 .Параболоид вращения         Определение 13 . 8   Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид   ( 13 .15) где   и   -- положительные числа.          Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости   ,   и координатная ось   . Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому  Это уравнение определяет на плоскости   пару прямых  , изображенных на рисунке 13.23. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому   Это уравнение на плоскости  задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью   также является параболой   но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23).   Рис. 13 . 23 .Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью   ,   . Уравнения этой линии  Первое уравнение преобразуем к виду   то есть к виду   ( 13 .16) где   ,   . Уравнение ( 13.16 ) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси   , а мнимая -- оси   . Полуоси равны соответственно   и   . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24). Найдем линии пересечения с плоскостями   , параллельными плоскости   . Уравнения этих линий   Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью  , только сдвинутой вдоль оси   на величину   вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.   Рис. 13 . 24 .Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений Так как   -- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости   . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости   , а вершина скользила по параболе в плоскости   . Плоскость   ,   , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы ( 13.16 ), ее действительная ось параллельна теперь оси   , а мнимая -- оси   (рис. 13.25).   Рис. 13 . 25 .Дополнительное сечение Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.   Рис. 13 . 26 .Гиперболический параболоид  
 
Список используемой литературы

1. Бобылева  Л. В., Брюхина Л. С. Линейная алгебра  и аналитическая геометрия: Исследование кривых и поверхностей второго порядка: Учебно-методическое пособие  — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997
3. Лекции по аналитической геометрии МГУ 
4. Интернет ресурсы: