Интегрирование тригонометрических выражений

2. Вычисляем  интеграл от рациональной функции  переменной t :

∫ 3t2 − 1 (t2 + 5) (1 + t2)   dt   =   − arctg t   +   4 √ 5   arctg t √ 5   +  C.

Подставляя t = tg x , получаем

∫ 3tg2x − 1 tg2x + 5   dx   =   − x   +   4 √ 5   arctg  tg x √ 5   +  C ,    x  Î  ( − π/2, π/2) .

Пример 4. Найдем интеграл

∫ sin4 3x · cos4 3x dx.

Решение.

Для нтегрирования функции sin⁴ 3x · cos⁴ 3x применяем формулы понижения степени

sin2 α = 1 2   (1 −  cos 2α) ,     cos2 α = 1 2   (1 + cos 2α) ,     sin α · cos α = 1 2   sin 2α.

Получаем:

∫ sin4 3x · cos4 3x dx   =   1 24    ∫ (2 sin 3x cos 3x)4 dx   =   1 24    ∫ sin4 6x dx   =   1 26    ∫ (2sin2 6x) 2  dx   =

=   1 64    ∫ (1 − cos 12x) 2  dx   =   1 64    ∫  dx   −   1 32    ∫ cos 12x dx   +   1 64    ∫ cos2 12x dx   =

=   x 64     −   sin 12x 384   +   1 128    ∫ (1 + cos 24x) dx =

=   3 x 128     −   sin 12x 384   +   sin 24x 3072   +  C .

Пример 5. Найдем интеграл

∫ cos x · sin 3x dx.

Решение.

1. Для  вычисления интеграла преобразуем  произведение cos x · sin 3x в сумму:

cos x · sin 3x   =   1 2   (sin 4x + sin 2x).

(2)

2. Подставляя (2) в исходный интеграл, получаем:

∫ cos x · sin 3x dx   =   1 2    ∫ sin 4x dx   +   1 2    ∫ sin 2x dx   =   −   1 8   cos 4x   −   1 4   cos 2x   +  C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование  тригонометрических функций

Примеры решений задач

Решить неопределенный интеграл

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

ответ и решение

Хорошо известно, что, например, решение тригонометрических уравнении можно получить многими способами: один - простой, но рутинный, а другой - трудный, но оригинальный. Т.е. для того, чтобы 'увидеть' оригинальный способ решения, нужно хорошо ориентироваться во всем множестве формул тригонометрии и знать специальные методы решения. Также обстоит дело и в интегрировании тригонометрических выражений, т.е. необходимо помнить много формул и свойств тригонометрии.

При интегрировании тригонометрических функций используются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения и , как функции отношения к и к соответственно, для эффективной замены переменных.

Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций.

Для понижения четных степеней используются следующие формулы:

Для избавления от произведения используются следующие формулы:

Также нужно помнить  формулы двойных углов: