Интегрирование тригонометрических выражений

Интегрирование  тригонометрических выражений

I. Интегрирование выражений R(sinx, cosx)

Пусть  R(u,v) — рациональная функция двух переменных. Положим u = sin< var>x  и   v = cos x . Получится функция f(x) = R(sin x, cos x) . Она имеет период 2π . Поэтому ее первообразные достаточно найти на интервале ( −π, π) .

Интеграл  от функции R(sinx, cosx) с помощью подстановки

x = 2arctg t     t = tg x 2           x Î (−π, π)     t Î ( −∞, +∞)

(1)

всегда  приводится к интегралу от рациональной функции переменной t. Поэтому он выражается через элементарные функции .

Действительно, подставляя в подынтегральное выражение 

sin x = sin(2arctg t) = 2t 1 + t2   ,     cos x = cos(2arctg t) = 1 − t2 1 + t2   ,     dx = d(2arctg t) = 2 1 + t2   dt  ,

получаем 

R(sinx, cosx)  dx   =   R æ  ç  è 2t 1 + t2 ,   1 − t2 1 + t2 ö  ÷  ø       2 1 + t2   dt   =   R1(t) dt  .

Подстановка (1) называется универсальной.

Если  подынтегральная функция R(sinx, cosx) имеет специальный вид, то можно применить методы, требующие меньше преобразований, чем при использовании универсальной подстановки.

1. Если R(u, v) нечетна относительно v , то существует рациональная функция R_s(u, v) , такая что

R(u, v) = R_s(u, v²) · v .

Поэтому

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(sin x, cos2x)  cos x dx .

Подводя cos x под знак дифференциала, получаем

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(sin x, cos2x) dsin x .

Очевидно, что замена переменной t = sin x сводит задачу к интегрированию рациональной функции:

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs( t, 1 − t2 ) dt         при    t = sin x .

2. Если R(u, v) нечетна относительно u , то существует рациональная функция R_s(u, v) , такая что

R(u, v) = R_s(u², v) · u .

Поэтому

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(sin2x, cos x)  sin x dx  .

Подводя sin x под знак дифференциала, получаем

∫  R(sin x, cos x) dx   =   − ∫  Rs(sin2x, cos x) dcos x .

Очевидно, что замена переменной t = cos x сводит задачу к интегрированию рациональной функции:

∫  R(sin x, cos x) dx   =   − ∫  Rs(1 − t2, t) dt         при    t = cos x .

3. Если R(u, v) = R( − u,  − v) , то существует рациональная функция R_s( · ) одной переменной, такая что R(u, v) = R_s(u / v) . Поэтому

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(tg x) dx .

Функция R_s(tg x) периодична с периодом π . Поэтому допустима подстановка

x = arctg t     t = tg x         x Î ( −π / 2, π / 2 )     t Î ( −∞, +∞)

Имеем

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(tg x) dx   =   ∫  Rs(t)  1 1 + t2   dt         при     t = tg x .

II. Интегрирование выражений   sin^2mx · cos²ⁿx

Интегралы вида

∫ sin2mx · cos2nx dx,

 

 где m и n — натуральные числа, находятся с использованием формул понижения степени:

sin2x = 1 2   (1 −  cos2x),     cos2x = 1 2   (1 + cos2x),     sinx · cosx = 1 2   sin2x .

Эти формулы могут применяться многократно, пока подынтегральное выражение содержит степени тригонометрических функций и их произведения.

III. Интегрирование выражений вида sin (αx) · sin (βx) ,     sin (αx) · cos (βx) ,     cos (αx) · cos (βx)  .

При интегрировании этих выражений используются тригонометрические формулы:

sin (αx) · sin(βx)   =   cos [(α − β)x] − cos [(α + β)x] 2

sin (αx) · cos (βx)   =   sin [(α + β)x] + sin [(α − β)x] 2

cos (αx) · cos (βx)   =   cos [(α + β)x] + cos [(α − β)x] 2 .

Эти формулы могут применяться многократно, пока подынтегральное выражение  содержит произведения тригонометрических функций.

Примеры

Пример 1. Найдем интеграл

∫ sin x 2 + sin x   dx.

Решение.

1. Требуется  найти интеграл от функции f(x) = R(sin x) , где R(u) = u/(2 + u) — рациональная функция. Воспользуемся универсальной подстановкой

x = 2arctg t,     t = tg  x 2 ,    x  Î  ( − π, π)  t  Î  ( − ∞,  + ∞) .

Выражаем sin x и dt через t и dt :

sin x = sin(2arctg t)   =   2t 1 + t2 ,         dx = d(2arctg t)   =   2 1 + t2   dt

и подставляем  в подынтегральное выражение. Получаем:

∫   sin x 2 + sin x   dx   =   ∫   2  +   2t 1 + t2 2t 1 + t2

 

 

2

1 + t2

 

dt   =   ∫  

2t

(t2 + t + 1) (t2 + 1)

 

dt      при t = tg

x

2

.

2. Вычисляем  интеграл от рациональной функции  переменной t :

∫ 2t (t2 + t + 1) (t2 + 1)   dt   =   2 arctg t   −  4 √ 3   arctg 2t + 1 √ 3   +  C.

3. Возвращаемся  к переменной x , подставляя t = tg(x/2) . Получаем искомый интеграл:

∫ sin x 2 + sin x   dx   =   x   −   4 √ 3   arctg  2tg(x/2) + 1 √ 3   +  C ,         x  Î  ( − π, π).

Пример 2. Найдем интеграл

∫ sin3x dx.

Решение.

1. Подынтегральная  функция нечетна относительно sin x . Поэтому ее можно представить в виде произведения sin²x sin x   Множитель sin x подведем под знак дифференциала. Получаем

∫ sin3x dx = ∫ sin2x · sin x dx = − ∫ sin2x dcos x  =   ∫ (t2 − 1) dt     при t = cos x.

(1)

3. Находя  интеграл (1) и возвращаясь к переменной x , подставляя t = cos x , получаем:

∫ sin3x dx  =   ∫ (t2 − 1) dt  =   t3 3     − t + C   =   cos3x 3     − cos x + C.

Пример 3. Найдем интеграл

∫   3tg2x − 1 tg2x + 5   dx.

Решение.

1. Требуется  найти интеграл от функции f(x) = R(tg x) , где

R(u)  =   3u2 − 1 u2 + 5 .

Поэтому используем подстановку 

x = arctg t,  t = tg x,    x  Î  ( − π/2, π/2)  t  Î  ( − ∞,  + ∞) .

Выражаем dx через t и dt

dx   =   d(arctg t)   =   1 1 + t2   dt .

Подставляем этот результат в подынтегральное  выражение. Получаем

∫   3tg2x − 1 tg2x + 5   dx   =   ∫   3t2 − 1 t2 + 5     1 1 + t2   dt             при   t = tg x .