Аналитическая геометрия

Вариант 1 

1. Проверить, является ли прямоугольным треугольник  с вершинами А (4; -5), B (7; 6) и С (-7; -2). Составить уравнения его сторон.

2. Через точку пересечения прямых провести прямую, составляющую с осью ОХ угол 45°.

3. К какой из двух прямых: точка М(-1;2) находится ближе?
4. Показать, что отрезки прямых образуют трапецию. Найти внутренние углы трапеции.

5. Дан тетраэдр с вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) и В (-4; 6; -3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ . Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани BCD.

6. Плоскость проходит через точку M (1; -3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскости .
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
10. Дан треугольник с вершинами А (7; 2; -6), В (11; -3; 5), С (-3; 4; -2). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В. При каком значении m прямая будет перпендикулярна построенной прямой?
11. Проверить, лежит ли прямая на плоскости .

Вариант 2 

1. Написать  уравнения высот треугольника, вершины которого находятся в точках К (2; 5), А. (-4; 3), М (6; -2).
2. Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату прямой . Построить данную прямую.
3. Найти расстояние между параллельными прямыми .
4. Даны уравнения сторон треугольника: . Определить угол между медианами, проведенными из вершин А и В.
5. Плоскость a проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость b задана уравнением . Показать, что плоскости перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат.
6. Через точку M (-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая - ОY . Вычислить угол между этими плоскостями.
7. Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость, параллельную плоскости . Составить для построенной плоскости уравнение в "отрезках".
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку А (1; -5; 3) и образует с осями координат ОХ и OY углы, соответственно равные и 45^°, а с осью OZ – тупой угол.
10. Показать, что прямые взаимно перпендикулярны.
11. При каком значении А плоскость будет параллельна прямой . При А = 4 найти угол между ними.

Вариант 3 

1. В параллелограмме  АВСD даны вершины А (-1; 3), В (4; 6) и С (1;-5). Составить уравнения его сторон.
2. Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой к оси OX равен 45° ?
3. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую , и угол, образованный этим перпендикуляром с осью ОУ.
4. Дан треугольник с вершинами: А (-3; -5), В (9; 1) и С (-3; 5). Определить координаты точки пересечения и острый угол между медианой, проведенной из вершины А, и высотой, проведенной из вершины С на сторону АВ.
5. Плоскость a проходит через точки А (-1; 10; -3), (1; 1; -5) и С (5; 4; -2), плоскость b проходит через точку М (2; -3; -9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 1; 2) параллельно векторам . Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью .
7. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и ОУ угол a = 150° и     b = 120°. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние Р от начала координат до неё равно 5 ед. Указать особенность в расположении плоскости.
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Найти острый угол между прямыми, одна из которых задана уравнением , другая проходит через точки А (2; -5; 3) и В (13; 2; -5).
10. При каких значениях В и n прямая перпендикулярна плоскости ?
11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-4; -7; 1) и параллельно прямой .

Вариант 4 

1. В треугольнике АBС известны вершины А (-3; -4), В (1; -2) и С (7; -2). Составить уравнения средней линии, параллельной АС , и медианы, проведенной из вершины В.
2. Составить уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку A(-1; 4) параллельно прямой .
3. Стороны треугольника выражаются уравнениями . Найти уравнение высоты, опущенной из вершины B на сторону АС и её длину.
4. Через начало координат провести прямые, образующие с прямой углы, тангенсы которых равны .
5. Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки            М (0; 1; 3) и N (2; 4; 5), и построить её. Найти расстояние точки А (3; 2; -5) до построенной плоскости.
6. При каком значении l плоскости a и b будут перпендикулярны? Плоскость a проходит через точки К (-1; ; 0), М (2; -1; 1), N (8; 1; -1). Плоскость b задана уравнением . При l = 3 найти острый угол между плоскостями a и b.
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-2; 7; 3) параллельно плоскости . Полученное уравнение плоскости привести к нормальному виду.
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Найти угол между прямыми и .
10. Даны вершины четырехугольника: A (-4; -3; -2), B (2; -2; -3), C (-8; -5; 1), D (4; -3; -1). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
11. Найти значение m, при котором прямая параллельна плоскости . При m = -2 найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Вариант 5 

1. Даны вершины треугольника: А (4; 6), В (-4; 0) и С (-1; -4). Составить уравнения высоты, опущенной из вершины А на сторону BС, и медианы, проведенной из вершины С.
2. Найти площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой .
3. Дана прямая . Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от неё на расстоянии 3 единиц.
4. Найти острый угол между прямой и прямой, проходящей через точки А (1; -1) и В (5; 7).
5. На оси ОX найти точку, удаленную от плоскости, проходящей через точку М (1; 8; -1) перпендикулярно вектору , на расстояние .
6. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точки A (1; ; ), В (2; 0; 1) параллельно оси OZ , а b - через точки С (2; 2; 1), D (6; 1; 0) и E (-1; -1; 3).
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору , направляющие косинусы которого соответственно равны . Проверить, будет ли искомая плоскость перпендикулярна плоскости .
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Найти угол между прямой и плоскостью .
10. Найти проекцию точки М (-6; 5; 7) на прямую .
11. Доказать, что четырехугольник с вершинами A (3; 2; -3), B (2; 4; 6), C (8; 3; 4), D (9; 1; -5) есть параллелограмм. Найти длины его сторон.

Вариант 6 

1. Даны вершин треугольника: А (2; -1), В (4; 5) и С (-3; 2).Составить уравнения высоты, опущенной из вершины В на сторону АС, в медианы, проведенной из вершины А.
2. Через точку А(1; 2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.
3. Найти длину перпендикуляра, проведенного из начала координат к прямой , и угол, образованный этим перпендикуляром с осью ОХ .
4. Проверить, что прямые служат сторонами равнобедренного треугольника.
5. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОY и OZ углы b = 60° и g = 45°, а с осью ОХ - тупой угол. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние р от начала координат до неё равно 8 единицам. Найти расстояние от точки A (1; -1; ) до построенной плоскости.
6. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью a, проходящей через точки А (0; 4; 1), B (6; 2; 0), С (3; 0; 2). Найти угол между плоскостью a и плоскостью XОY.
7. Показать, что параллелепипед, грани которого лежат в плоскостях является прямоугольным.
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 5; -1) и перпендикулярно прямой .
11. Точки A (-4; 3; 7), B (2; -1; 5) и C (-2; -6; 11) являются тремя вершинами параллелограмма. Составить уравнение стороны CD.

Вариант 7 

1. Даны вершины треугольника: А (-1; 2), В (3; -1) и С (0; 4). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.
2. Прямая проходит через точку А(-1; -9) и отсекает на отрицательной полуоси абсцисс отрезок, вдвое меньший, чем на отрицательной полуоси ординат. Составить уравнение этой прямой.
3. Известны уравнения сторон треугольника: . Найти длину высоты, которая проведена из вершины, лежащей на оси абсцисс.
4. Даны вершины четырехугольника: А (-9; 0), В (-3; 6), С (3; 4) и D (6; -3). Вычислить угол между диагоналями АС и ВD.
5. Две из граней куба расположены на плоскостях . Найти его объем.
6. Найти угол между плоскостью и плоскостью, проходящей через точки М (1; 1; 1) и N (2; 3; -1) параллельно вектору ={0; -1; 2}.
7. Составить уравнение плоскости АВС, где А (-3; -3; 1), В (-4; -2; -2), С (-5; -1; 0), и указать особенность в её расположении. Найти углы, образуемые перпендикуляром, опущенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Найти угол прямой с плоскостью .
10. При каком значении n прямые будут взаимно перпендикулярны?
11. Вершины четырехугольника находятся в точках A (-3; -5; -1), B (2; -20; 9), C (-6; 1; -2), D (-9; 10; -8). Показать, что ABCD есть трапеция и найти длины её оснований.

Вариант 8 

1. Проверить, что четыре точки: А (-2; -2), B (-3; 1), С (7; 7) и D (3; 1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение средней линии трапеции.
2. Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой к оси ОX равен 30° ?
3. Через точку пересечения прямых проведена прямая перпендикулярно первой из данных прямых. Каково расстояние полученной прямой от начала координат?
4. Определить острый угол, под которым пересекаются прямые АВ и СD, если А (2; 4),      В (4; 8), С (8; 3) и D (10; -2).
5. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от точки А (1; 2; 0) на расстоянии .
6. Найти угол между плоскостью, проходящей через точку M (3; 6; -2) и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением а: в : с =1:3:2, и плоскостью XOZ.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки А (0; 2; 0), В ( 0; 1) и С ( ).
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости с прямыми . Определить направляющие косинусы прямой.
10. При каком значении m прямые будут взаимно перпендикулярны? При m = 1найти угол между ними.
11. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М (3; 1; -2) и прямую .

Вариант 9 

1. Даны вершины треугольника: А (3; 0), В (0; 3) и С(-2; -1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и найти её длину.
2. Из пучка прямых а центром в точке О(2; -5) выбрать прямую, отсекающую на положительной полуоси ординат отрезок, равный 3 единицам. Полученное уравнение прямой привести к нормальному виду.
3. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых и параллельную прямой .
4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку. М (-4; 1)и образующей угол с прямой .
5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей до плоскости, проходящей через точку М (-1;-1; 1) перпендикулярно вектору .
6. Дан тетраэдр с вершинами А (1; -2; 2), В (2; -3; -6),С (5; 1; 4) и D (0; -4; 4). Найти угол между гранями ABD и BCD.
7. Плоскость a проходит через точку М (-5; 4; 13) и отсекает на осях координат равные отрезки. Плоскость b задана уравнением, . При каком значении m плоскости a и b будут перпендикулярны?
8. Написать канонические уравнения прямой:
9. Даны две вершины параллелограмма ABCD: С (-2; 3; -5) и D (0; 4; -7) и точка пересечения диагоналей M (1,2,-3; 5). Найти уравнение стороны AB и угол между диагоналями AC и BD.
10. При каких значениях В и С прямая перпендикулярна плоскости ?
11. При каких значениях А и С прямая лежит в плоскости ?

Вариант 10 

1. Вершины четырехугольника имеют координаты Р(1; 0), Q(2; ), R(5; 2) и S(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.
2. Диагонали ромба равны 8 и 3 единицам. Написать уравнения сторон ромба, если большая диагональ лежит на оси ОХ, а меньшая - на оси ОУ . Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.
3. Составить уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки М (-1; 7) и N (3; -1). Какой угол образует он с положительным направлением оси ОХ?
4. Вычислить угол между прямыми .
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 0; -2) перпендикулярно вектору , где В (2; -1; 3), С (0; -3; 2). Указать особенности в расположении плоскости. Найти расстояние от точки D (6; -2; 13) до построенной плоскости.
6. При каком значении m угол между плоскостями a и b равен ? Плоскость a проходит через точки А ( ), В (-3; 1; 1) и С (2; 4; -7), плоскость b задана уравнением .
7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (1; -1; 2), N (3; 1; -2) и перпендикулярной к плоскости ХОY.
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 2; 3), если направляющий вектор прямой образует с координатными осями ОХ и OZ углы a = 120°, g = 45°, а с осью ОY - острый угол.
10. В плоскости XOZ найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную к прямой .
11. При каком значении С плоскость будет параллельна прямой . При С = -2 найти угол между ними.