Построение и анализ математической модели с одним входным и одним выходным параметром

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

Механико-технологический  факультет 

Кафедра «Металлургия литейных сплавов» 

     Утверждаю

     Заведующий  кафедрой

  «Металлургия литейных сплавов»

     ____________ /Б.М. Немененок/

«____»_____________ 2011 год 
 

Курсовая  работа

по дисциплине: Математическое моделирование технологических  процессов 

Тема: «Построение  и анализ математической модели с  одним входным и одним выходным параметром» 
 

Исполнитель:       

студент 4 курса гр. 104138    М.С. Кулинка 

Руководитель:     

к.т.н., доцент                               И.В. Рафальский 

Нормоконтроль:

к.т.н., ассистент            А.А. Пивоварчик 
 
 
 

Минск 2011

 

Содержание 

 
 
 
 
 
 
 

 

1. ^{Исходные  данные}

В таблице 1 представлены значения входного и  выходных параметров. 

Таблица 1 – Исходные данные

 

2. ^{Методика  расчета}

1. ^{Выбор типа математической модели методом корреляционного анализа}

     Выбор типа моделей методом корреляции может быть использован при любом количестве опытов (более трех) и при любых значениях входного параметра (в пределах Х_m1n - Х_max) и основан на расчете коэффициента парной корреляции (R) для всех рассматриваемых типов моделей. Для решения поставленной задачи используем в расчетах семь самых распространенных моделей, представленных в таблице 2. 

     Таблица 2 – Наиболее распространенные типы моделей

 

     Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты  линейной связи между двумя случайными величинами. В общем случае его величина может меняться от 0 до ±1. Если коэффициент корреляции равен 0, связь либо вообще отсутствует, либо отлична от линейной. Если он равен ±1. связь является линейной. В промежуточных случаях между полной корреляцией и отсутствием корреляции коэффициент корреляции выражает ту долю вариации одной из переменных, которая линейно связана с изменением значений другой. Естественно, чем ближе величина коэффициента корреляции к 1, тем линейная связь сильнее, чем ближе к 0, тем линейная связь слабее. Знак коэффициента корреляции указывает на направление связи: увеличение одной из переменных при положительной корреляции влечет за собой увеличение, а при отрицательной корреляции - уменьшение другой.

     После расчета коэффициентов парной корреляции устанавливается их статистическая значимость (точнее, проверяется гипотеза об отличии вычисленного коэффициента от нуля). С этой целью по таблице распределения коэффициентов корреляции находится при выбранном уровне значимости а (вероятности практически невозможных событий, обычно принимаемой 0,001  (что соответствует доверительной вероятности

     Р = 99,9%): 0,01 (Р = 99%): 0,05 (Р = 95%): или 0,10 (Р = 90%) и числе степеней свободы

     f =N – 2

критическое значение коэффициента корреляции R_крит.

     Так как в нашем случае из 7 рассматриваемых  моделей 6 являются нелинейными, использовать расчетные значения коэффициента линейной парной корреляции для определения типа математической модели по имеющимся экспериментальным данным можно после преобразования параметров X и Y к линейному типу модели. Тогда значения коэффициента корреляции будут принимать только полюсные (крайние) значения: для искомой модели они будут равны =1 или близки к ней.для других моделей – равны или близки к 0.

     Особенностью  рассматриваемых моделей 2 – 7 является то, что они могут быть сведены  к линейной зависимости с помощью несложных преобразований. Рассмотрим два примера преобразований - для модели б и модели 4.

     Модель 6.

     Прологарифмируем  обе части уравнения нелинейной функции модели 6:

Y = Во∙Х^B1      (1)

     В результате получим выражение:

     lnY = ln( Bo∙X^B1),     (2)

     lnY = lnBo + ln(X^B1),    (3)

     lnY = lnВ₀+ B₁∙lnX.    (4)

     Преобразуем данную модель(6) к линейной, введя  новые переменные – Y’= lnY и X’ = lnХ, и новые константы - bo = lnBo и b₁=B₁. Тогда модель примет линейный вид

     Y' = bo +b₁X',     (5)

     Где между параметрамиВо, bo, B₁ и b₁ имеется следующая связь:

B₁=b₁; B₀= 10^b0 (из bо=lnВ₀) – нахождение коэффициентов.

      Пусть эта модель (6) является искомой для  нашего набора данных (R = 1). Тогда после определения коэффициентов линейная математическая модель для переменных X' и Y' будет иметь вид Y' =0,796 + 0,203∙X'. Возвращаясь к исходным переменным X и Y, получаем реальный вид модели:

     Y = 5,875∙X^0,203     (6)

     Модель 4.

     Умножим обе части уравнения 7 на выражение 1/(X∙Y).

     Y = Х/(Во+В₁Х)     (7)

     В результате получим выражение:

     Y/(X∙Y)=X/((B₀+B₁X) ∙ (X∙Y),   (8)

     1/Х  = l/(Y∙ (B₀+B₁X)).    (9)

     Преобразуем данную модель к линейной, введя новые переменные – Y’ = 1/Y и X¹ = 1/Х, и новые константы - b₁ = Во и bo = B₁. Тогда модель 4 примет следующий вид:

     X¹ = Y’/(b₁+ bo∙X)       (10)

     Y' = X'∙(b₁+ bo∙X)      (11)

     Y' = X'∙b₁+ boxX'∙X     (12)

     Y’ = X'∙b₁+ bo∙X/X     (13)

     Y' = X'∙b₁ +b₀.      (14)

       Формулы преобразования для всех  рассматриваемых типов моделей к линейному виду приведены в таблице 3. 
 
 
 

     Таблица 3 – Преобразование параметров моделей 1-7 к линейному виду 

     Коэффициент R_j рассчитывается по формуле: