Задачи по "Теории инвестиций"

 

Расчетная часть

Задача 5.

Коммерческий банк предлагает два вида сберегательных сертификатов номиналом 100000 со сроком погашения через 5 лет по которым он обязуется: а) выплачивать доход из расчёта 15% годовых; б) или выплатить через 5 лет сумму в 200000 руб.

А) Проведите анализ эффективности операции для вкладчика.

В) Определите справедливую цену данного предложения?

Дано:  PV= 100 000

           FV1= 200 000

           n= 5 лет

           k= 15% = 0,15

           FV - ?

Решение

FV2= PV * (1+k)ⁿ = 100 00*(1+0.15) =100 000 *2,013572=201 135,72 руб

FV= FV2 – FV1= 201 135,72 – 200 000= 1135,72 руб

Вывод: Данная операция для  вкладчика не выгодна, так как  сумма, которую он может получить по сберегательным сертификатам в будущем  больше, чем сумма, которую обязуется выплатить по ним банк на 1135,72 руб

А) В качестве меры эффективности  инвестиций в облигации используется показатель доходности к погашению.

Доходность облигации  к погашению равна:

(или 14,87%)

Так как доходность облигации к погашению меньше требуемой нормы (15%), то можно сделать вывод о невыгодности данных сберегательных сертификатов.

В) Определим справедливую цену данного предложения.

 руб.

Задача 9.

Имеется следующий прогноз относительно возможной доходности акции ОАО «Золото».

Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1
Доходность	-10%	0%	10%	20%	30%

 

А) Определите ожидаемую  доходность и риск данной акции.

Решение

А) Математически ожидаемая доходность акции выражается следующим образом:

 

где rn — n-е возможное  значение доходности i-ой акции;

рn — вероятность реализации значения доходности для i-ой акции;

N— число возможных значений  доходности.

Ожидаемая доходность D =  -0.1*X₁ + 0*X₂ + 0,1*X₃, + 0,2*X₄+ 0,3*X₅ при X₁ = 0.1, X₂ = 0.2,  X₃ = 0.3, X₄ = 0.2, X₅ = 0.1 имеем:

D = -0.1*0.1 + 0*0.2 + 0,1*0,3 + 0,2*0,2 + 0,3*0,1 = 0.09 или 9%.

В инвестиционной деятельности понятие риска трансформировалось и стало определяться как вариация или дисперсия доходности акции. Формула для определения вариации доходности n-ой акции записывается следующим образом:

Риск портфеля

,

= или 11%.

В) Осуществим оценку риска того, что  доходность по акции окажется ниже ожидаемой.

При оценке предложения на финансирование проекта предприниматель должен осознавать, что фактическая доходность может оказаться ниже предполагаемой. В этом состоит рискованность принятия инвестиционного решения. Риск, в данном случае, так и понимается: как вероятность того, что фактическая доходность окажется ниже заложенной в проект.

Для оценки риска чаще всего используются три подхода:

1. Коэффициент бета: математическая оценка рискованности одного актива в терминах ее влияния на рискованность группы (портфеля) активов. Учитывается только рыночный риск и рассчитывается показатель: чем он выше, тем выше риск.

2. Стандартное отклонение: статистическая мера разброса (дисперсия) прогнозируемых доходов. Мерой рискованности удержания актива является его стандартное отклонение, представляющее разбpос доходности: чем оно выше, тем выше риск.

3. Экспертные оценки: в учет берутся скорее качественные оценки, чем количественные. Собираются и усредняются личные мнения экспертов.

Таким образом, мера рискованности  удержания актива равна 11% (риск портфеля).

Примем за доходность риска, ниже ожидаемой 8%.

Тогда получим следующее  значение риска портфеля:

,

= или 11,12%.

Ответ: Таким образом, при доходности по акции ниже ожидаемой, риск портфеля возрастает.

 

Задача 13.

 

Имеются следующие данные о риске и доходности акций  А, В и С.

Акция	Доходность, %	Риск (σi), %	Ковариация
А	6	20	σ12 = 0,1
В	17	40	σ13= 0,0
С	25	50	σ23= 0,3

 

1. Определите ковариации  для данных акций.

2. Сформулируйте оптимальный портфель при условии, что максимально допустимый риск для инвестора не должен превышать 15%.

 

Решение

Задача сводится к  решению задачи нелинейного программирования.

Найти Хj / j =1 ,2,3.. п, максимизирующие доходность портфеля.

Мах mр = Σmj ×Хj ->mах, при условиях, что обеспечивается заданное значение риска портфеля:

< ,

где  mj – доходность бумаг.

σj – риски бумаг,

Σхj = 1.

Хj ≥ 0, J = 1....n.

Математическая модель задачи нелинейного программирования:

00,6*Х1 +0,17*Х2+ 0,25*ХЗ– >mах

0,2²*Х1²+0,4²*X2²+0,5²*Х3²+2*(-0,1)Х1X2+ 2*0*Х1*ХЗ+2*0,3*X2*Х3<<0,15²,

Х1 + Х2 + ХЗ = 1 

ХI, Х2, Х3 ≥ 0

Решаем задачу в среде Ехсеl, используя надстройку «Поиск решения».

 

Рисунок 2 - Шаблон таблицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 -Результаты Поиска решения

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: оптимальный портфель Ха = 0,3333, Хв=О,3333, Хс=0,3333 обеспечит доходность m_p= 9,44 % при риске σ_p = 15%.

 

 

Задача 20.

Стоимость хранения одной  унции золота равна 2,00. Спотовая цена на золото составляет 450,00, а безрисковая ставка – 7% годовых. На рынке имеются также фьючерсные контракты с поставкой золота через год.

А) Определите справедливую фьючерсную цену золота исходя из заданных условий.

В) Какие действия предпримет арбитражер, если фьючерсная цена в настоящее время ниже справедливой?

С) Какие действия предпримет арбитражер, если фьючерсная цена на момент сделки будет выше справедливой?

Какие сделки должен осуществить инвестор, чтобы осуществить возможность арбитража и какова его максимальная прибыль при разовой сделке?

Дано: S= 450,00

            r=0,01

            s=2

Решение

Рассмотрим  две стратегии, следуя которым можно  получить золото в определенное время  в будущем через год:

1. Купить золото  сейчас, заплатив текущую или «спотовую» цену S0 = 450, и хранить его год, когда его цена будет St.

2. Открыть  «длинную» позицию по фьючерскому  контракту на золото и инвестировать  сейчас достаточную сумму денег  для того, чтобы заплатить фьючерсную  цену, когда придет время погашения контракта. В этом случае потребуется немедленная инвестиция, равная приведенной стоимости фьючерсной цены .

А) Представим денежные потоки по 2-м стратегиям в  таблице.

Стратегия	Текущее движение денег	Денежный  поток через год
Стратегия 1 (покупка золота)	S0   (-450)	St
Стратегия 2.
1. Открытие  «длинной» позиции	0	St - F0
2. Инвестирование  суммы под безрисковую процентную  ставку		F0
Итого для 2-ой стратегии		St

 

Т.о., доходы по двум стратегиям равны. Стоимость или первоначальные расходы, необходимые для реализации обеих стратегий, также должны быть одинаковыми.

S0  = - это справедливая цена.

Если фьючерсная цена в настоящее время выше или  ниже справедливой, то инвестор может  получить арбитражную прибыль.

В) Предположим, что фьючерсная цена равна 450 (ниже 483,5). Следовательно, инвестор может получить арбитражную прибыль, совершая следующие действия:

1) инвестор  открывает короткую позицию из 1-ой стратегии (покупка фьючерсного  контракта);

2) открывает  длинную позицию из 2-ой стратегии (продажа золота).

В такой ситуации арбитражеры  активно начнут покупать контракты, что повысит фьючерсную цену, и  продавать базисный актив на спотовом рынке, что понизит спотовую цену. В конечном итоге фьючерсная и  спотовая цены окажутся одинаковыми  или почти одинаковыми. К моменту истечения срока контракта базис будет равен нулю, так как фьючерсная и спотовая цены сойдутся.

Представим  денежные потоки по 2-м стратегиям в  таблице.

Стратегия	Текущее движение денег	Денежный  поток через год
Стратегия 1.		-
1. заем в  размере	+450 -450	0
2. покупка  фьючерсного контракта	450*(1+0,07)=483,5	0
Стратегия 2. продажа золота	St-450	0
Итого	33,5	0

 

Получили 33,5 – безрисковая  прибыль.

С) Предположим, что фьючерсная цена равна 500 (выше 483,5). Следовательно, инвестор может получить арбитражную прибыль, совершая следующие действия:

1) инвестор  открывает длинную позицию из 1-ой стратегии (покупка золота);

2) открывает  короткую позицию из 2-ой стратегии  (продажа фьючерсного контракта  и заем средств для покупки  золота).

Представим  денежные потоки по 2-м стратегиям в  таблице.

Стратегия	Текущее движение денег	Денежный  поток через год
Стратегия 1.
1. заем в размере	+450 -450	-450*(1+0,07)= - 483,5
2. покупка  золота
Стратегия 2. Открытие  позиции по фьючерсному контракту	0	500 -St
Итого	0	16,5

 

Получили 16,5 – безрисковая  прибыль.

Вывод: Если фьючерская цена превышает 485,5 за унцию, для арбитража имеет смысл купить золото по цене спот и одновременно продать контракт для поставки его в будущем по фьючерской цене. Если же фьючерская цена окажется меньше 485,5 за унцию, арбитражу следует совершить короткую продажу золота на рынке спот (т.е. взять его в займы и тут же продать), вложить вырученную сумму в безрисковые активы и занять длинную позицию по фьючерскому контракту.