Прогнозирование добычи нефти по Удмуртской республике

             (2.3) 

     4) Гиперболическая функция выражается  формулой (2.4) и применяется, если  обнаружено замедленное снижение уровней ряда. 

             (2.4) 

     5) Ряд Фурье представлен в формуле  (2.5). 

          (2.5) 
 

где  - теоретические (выравненные) уровни;

     t – условное обозначение времени (1,2,3…);

     a₀,a₁,a₂ – параметры аналитической функции;

     k – число гармоник. 

     После того как выяснен характер кривой развития, необходимо определить ее параметры. Для этого используется несколько  методов:

     1) Элементарный метод определения  параметров уравнения тренда  состоит в решении системы уравнений по известным уровням ряда динамики. Если дан ряд динамики, то, приняв условные обозначения времени через t  и две точки (конечный и начальный уровни), можно построить уравнение прямой по этим двум точкам.

     Отрицательным моментом в таком моделировании тренда являются разные числовые выражения параметров в различных точках их определения.

     2) Метод средних значений (линейных отклонений) заключается в следующем: ряд расчленяется на две примерно равные части и вводится требование, чтобы сумма выравненных значений в каждой части совпала с суммой фактических значений, т.е. чтобы сумма отклонений фактических данных от выравненных равнялась нулю.

     Данный  метод прост и требует минимального количества вычислений. Его недостаток заключается в том, что при произвольном расчленении ряда на две части могут получиться разные результаты.

      3)Метод конечных разностей основан на свойствах различных кривых, применяемых при выравнивании.

     Пусть дан ряд динамики у_t, который описывается полиномом р-й степени. Для полинома вычисляются следующие разности:

- постоянные первые разности;

- вторые разности;

     Для расчета уровней ряда динамики при  равных или почти равных первых разностях  применяется формула (2.6). 

      (2.6) 

     Если вторые разности практически равны, то, вычисляя коэффициенты параболы второго порядка, получают тренд ряда динамики (2.7): 

                                  

                                  (2.7) 

где     - выравненное значение ряда динамики;

      - средний уровень ряда динамики;

      - средняя арифметическая первых  разностей;

      - средняя арифметическая вторых разностей;

     n – число уровней;

     t – условное обозначение времени. 

      4) Метод наименьщих квадратов (МНК)  используется при расчете параметров  уравнений тренда. Сущность этого  метода заключается в нахождении  параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению, т.е.

      2.1.1. Выравнивание по линейной функции .

      В этом случае необходимо определить закономерность изменения уровней в данном периоде в виде уравнения тренда, т.е. осуществить аналитическое выравнивание на основании данных о добыче нефти в УР. В качестве гипотетической функции теоретических уровней можно принять прямую .

      Для определения параметров аналитического уравнения разобьем применим метод наименьших квадратов (МНК) и решим систему уравнений:

                          (2.8) 

      При таком порядке отсчета времени  , поэтому система нормальных уравнений упрощается (2.8).

                          (2.8)

Все необходимые  расчеты по данному методу приведены в таблице. 2.1. 

     Расчет  теоретических уровней линейного  тренда от середины ряда

     Таблица 2.1

Год	Добыча нефти,  тыс.т	Условное обозначение  времени, t	t2	yt	Теоретические уровни,
2000	7680	-5	25	-38400	7737,64
2001	7870	-4	16	-31480	8068,64
2002	7793	-3	9	-23379	8399,64
2003	8555	-2	4	-17110	8730,64
2004	9394	-1	1	-9394	9061,64
2005	10160	0	0	0	9392,64
2006	10226	1	1	10226	9723,64
2007	10359	2	4	20718	10054,64
2008	10432	3	9	31296	10385,64
2009	10317	4	16	41268	10716,64
2010	10533	5	25	52665	11047,64
Σ	103319	0	110	36410	103319

 

     Данные  таблицы 2.1 необходимо подставить в формулу (2.8) для вычисления и .

     11 =103319 =103319/11 = 9392,64;

     110 =36410 = 36410/110 = 331.

     Искомое уравнение тренда получается после  подстановки значений  и в формулу (2.1), в результате чего получается уравнение (2.9). 

      = 9392,64+ 331*t     (2.9) 

     Теоретические уровни, рассчитанные по уравнению (2.9) приведены в последнем столбце  таблицы 2.1

     В уравнении (2.9) коэффициент регрессии  =331, это значит, что среднегодовое увеличение добычи нефти по УР за 2000-2010 годы составило 331 тыс.т.

 

     2.1.2  Выравнивание по параболе второго порядка . 

      Так как в соответствии с выравниванием  ряда по линейной функции получили теоретические уровни значительно отличающиеся от практических, то выполним выравнивание по параболе 2-го порядка.

      В этом случае необходимо определить закономерность изменения уровней в данном периоде  в виде уравнения тренда, т.е. осуществить аналитическое выравнивание на основании данных о добычи нефти по УР за 2000-2010 годы. В качестве гипотетической функции теоретических уровней можно принять параболу второго порядка .

      Для определения параметров аналитического уравнения можно использовать метод наименьших квадратов. Для расчета параметров отсчет времени ведется от середины ряда, так как число уровней ряда нечетное (n=11), то серединный момент времени принят за «0», а все последующие и предыдущие, соответственно, через ±1;±2; ±3; ±4; ±5.

      При таком порядке отсчета времени  , поэтому система нормальных уравнений упрощается (2.10). 

              (2.10) 

     Все необходимые расчеты по этому методу приведены в таблице 2.2. 

     Выравнивание  ряда динамики по параболе второго  порядка

     Таблица 2.2

Год	Добыча нефти,  тыс.т	Условное обозначение  времени, t	t2	t4	yt	yt2	Выравненные уровни,
2000	7680	-5	25	625,00	-38400	192000	7255,61
2001	7870	-4	16	256,00	-31480	125920	7875,83
2002	7793	-3	9	81,00	-23379	70137	8431,77
2003	8555	-2	4	16,00	-17110	34220	8923,45
2004	9394	-1	1	1,00	-9394	9394	9350,85
2005	10160	0	0	0,00	0	0	9713,99
2006	10226	1	1	1,00	10226	10226	10012,85
2007	10359	2	4	16,00	20718	41436	10247,45
2008	10432	3	9	81,00	31296	93888	10417,77
2009	10317	4	16	256,00	41268	165072	10523,83
2010	10533	5	25	625,00	52665	263325	10565,61
Σ	103319	0	110	1958	36410	1005618	103319

     Для того чтобы вычислить  , и необходимо подставить данные таблице 2.2 в формулу (2.10), в результате  получится система уравнений (2.11). 

     103319=11 +110    = 9713,99;

     110 =36410    = 331;     (2.11)

     1005618=110 +1958   =-32,135

     Искомое уравнение тренда получается после  подстановки значений , и в формулу (2.2), в результате чего получается уравнение (2.12). 

      = 9713,99 +331t – 32,135t² (2.12) 

     Теоретические уровни, рассчитанные по уравнению (2.12) приведены в последнем столбце  таблице 2.2.

      При сравнении  суммы квадратов отклонений теоретических  значений от эмперических по линейному закону               =1912662,55 с параболическим 2-го порядка                       =1026630,86 – делаем вывод, что теоретические уровни по параболической лини тренда более близки к эмперическим уровням.  

 

     2.2. Измерение колеблемости  в рядах динамики 

     Слагаясь  под совместным  воздействием систематических и случайных факторов, уровень ряда динамики испытывает также воздействие причин, обусловленных периодичностью колебаний.

     Для измерения колеблемости в рядах  динамики могут использоваться показатели, аналогичные показателям вариации признака. Для измерения колеблемости в рядах динамики можно использовать следующие показатели:

1. Размах, или амплитуда, отклонений отдельных уровней от их средней (2.13) или от тренда (2.14):

 

(2.13) 

(2.14) 

      

2. Среднее линейное отклонение является средней арифметической из абсолютных значений отдельных уровней от общей средней (2.15) или от тренда (2.16):

 

(2.15) 
 

                                          (2.16) 

3. Среднее квадратическое отклонение отдельных уровней от общей средней (2.17) или от тренда (2.18):

 

       (2.17) 

 

                      (2.18) 

      

4. Относительный показатель колеблемости уровней ряда динамики, аналогичный коэффициенту вариации (2.19):

 

                                               (2.19) 

      Расчет  показателей вариации для измерения колеблемости уровней в рядах динамики по данным добычи нефти по УР за 2000-2010 годы представлен в таблице 2.3. 

      Данные  для расчета показателей колеблемости

      Таблица 2.3

Год	Добыча нефти, тыс.т.		у -	(у - )2	у -	(у - )2
2000	7680	7255,61	-424,39	180108,24	-1712,64	2933123,31
2001	7870	7875,83	5,83	33,93	-1522,64	2318421,50
2002	7793	8431,77	638,77	408029,11	-1599,64	2558836,50
2003	8555	8923,45	368,45	135753,60	-837,64	701634,68
2004	9394	9350,85	-43,15	1861,65	1,36	1,86
2005	10160	9713,99	-446,01	198926,40	767,36	588846,95
2006	10226	10012,85	-213,15	45431,58	833,36	694494,95
2007	10359	10247,45	-111,55	12443,95	966,36	933858,68
2008	10432	10417,77	-14,23	202,45	1039,36	1080276,77
2009	10317	10523,83	206,83	42776,65	924,36	854448,13
2010	10533	10565,61	32,61	1063,31	1140,36	1300429,22
Σ	103319	103319		1026630,86		13964372,55