ЛИНЕЙНОЕ  ПРОГРАММИРОВАНИЕ

    В случае, когда оптимизируемая целевая  функция и ограничения линейны, задача оптимизации решается методами линейного программирования и обычно называется задачей линейного программирования.

    Процесс решения задачи линейного программирования обычно состоит из ряда этапов [7]:

• 1-й этап: осмысление задачи, выделение наиболее важных качеств, свойств, величин, параметров. Это можно делать, составляя схемы, таблицы, графики и т.п.;
• 2-й этап: введение обозначений (неизвестных). Желательно ограничиваться как можно меньшим количеством неизвестных, выражая по возможности одни величины через другие;
• 3-й этап: создание целевой функции. Обычно в качестве цели могут выступать максимальная стоимость всего объема продукции, максимальная прибыль, минимальные затраты и т.п. Целевая функция записывается в виде(X.1);
• 4-й этап: составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины (X.2) или (X.3);
• 5-й этап: решение задачи на компьютере.

 

    Инструментом  для поиска решений задач оптимизации  в Excel служит процедура Поиск решения (Сервис/Поиск решения). При этом открывается диалоговое окно Поиск решения. Оно содержит следующие рабочие поля:

• Установить целевую ячейку – служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или установить равным заданному числу. Эта ячейка должна содержать формулу;
• Равной – служит для выбора варианта оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация или подбор заданного числа). Чтобы установить число, необходимо ввести его в поле;
• Изменяя ячейки – служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле Установить целевую ячейку;
• Предположить – используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку. Результат поиска отображается в поле Изменяя ячейки;
• Ограничения – служит для отображения списка граничных условий поставленной задачи;
• Добавить – используется для отображения диалогового окна Добавить ограничение;
• Изменить – применяется для отображения диалогового окна Изменить ограничение;
• Удалить – служит для снятия указанного ограничения;
• Выполнить – используется для запуска поиска решения поставленной задачи;
• Закрыть – служит для выхода из окна диалога без запуска поиска решения поставленной задачи. При этом сохраняются установки, сделанные в окнах диалога, появлявшихся после нажатий на кнопки Параметры, Добавить, Изменить или Удалить;
• Параметры – применяется для отображения диалогового окна Параметры поиска решения, в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и указать предусмотренные варианты поиска решения;
• Восстановить – служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска решения, используемых по умолчанию.

 

    Пример 4.

    Требуется: На нефтяных месторождениях 1 и 2 поисково-разведочными работами готовятся запасы промышленных категорий X₁ и X₂ (в млн. т.). Необходимо отыскать значения запасов, приводящие к максимуму стоимости сырья (в тыс. долларов), которое возможно получить на двух месторождениях. В математическом виде – найти максимум прикладной линейной функции Z

    

    при ограничениях:

      – объемы работ по экологической  реабилитации площади работ;

      – стоимость геофизических работ;

      – стоимость геохимических  работ;

     .

    Указание: Обозначим: X₁ – запасы месторождения 1, X₂ – запасы месторождения 2. Значения запасов, приводящие к максимуму стоимости сырья (в тыс. долларов), которое возможно получить на двух месторождениях значения запасов, приводящие к максимуму стоимость сырья (в тыс. долларов), которое возможно получить на двух месторождениях . Функция, для которой ищется экстремум (максимум или минимум), носит название целевой функции. Беспредельному увеличению запасов препятствуют ограничения: – объемы работ по экологической реабилитации площади работ; – стоимость геофизических работ; – стоимость геохимических работ. Кроме того, запасы – неотрицательное число, поэтому .

    Формально задача оптимизации записывается так:

    

 

    Решение: Решим эту задачу в Excel [1].

    Введите в ячейки A1, A2, A4:A8 рабочего листа текст. В ячейки B1, B2, A4:A8 введите нули (рис. 3).

    

    Рис. 3. Размещение исходных данных задачи в документе Excel

    В ячейку B4 введите формулу =50*B1+40*B2. Это целевая функция. В ячейку B6 введите формулу =2*B1+5*B2. В ячейку B7 введите формулу =8*B1+5*B2. В ячейку B8 введите формулу =5*B1+6*B2. Это ограничения.

    Выделим ячейку B4, в которой вычисляется целевая функция, и вызовем Решатель (Сервис/Поиск решения). В диалоговом окне в поле ввода Установить целевую ячейку: уже содержится адрес ячейки с целевой функцией $B$4. Установим переключатель: Равной максимальному значению. Перейдем к полю ввода Изменяя ячейки:. В нашем случае достаточно щелкнуть кнопку Предположить и в поле ввода появится адрес блока $B$1:$B$2.

    Перейдем  к вводу ограничений. Щелкнем кнопку Добавить. Появится диалоговое окно Добавление ограничения. В поле ввода Ссылка на ячейку: укажите $B$6. Правее расположен выпадающий список с условными операторами (раскройте его и посмотрите). Выберем условие <=. В поле ввода Ограничение: введите число 20. У нас есть еще два ограничения, поэтому, не выходя из этого диалогового окна, щелкните кнопку Добавить и введите ограничение $B$7<=40. Аналогично добавить ограничение $B$8<=30. Ввод ограничений закончен, поэтому нажмите OK. Вы вновь окажитесь в диалоговом окне Поиск решения. Вы увидите введенные ограничения $B$6<=20, $B$7<=40 и $B$8<=30. Справа имеются кнопки Изменить и Удалить. С их помощью Вы можете изменить ограничение или стереть его. (Если Вы используете Excel 5.0/7.0, то Вы должны ввести еще одно ограничение $B$1:$B$2>=0).

    Щелкните  кнопку Параметры. Вы окажитесь в диалоговом окне Параметры поиска решения. Чтобы узнать назначение полей ввода этого окна, щелкните кнопку Справка. Менять ничего не будем, только установим два флажка: Линейная модель (так как наши ограничения и целевая функция являются линейными по переменным X₁ и X₂) и Неотрицательные значения (для переменных X₁ и X₂). В Excel 5.0/7.0 этот последний флажок отсутствует, поэтому и нужно было вводить ограничение $B$1:$B$2>=0. Щелкнем OK и окажемся в исходном окне.

    Задача  оптимизации полностью подготовлена. Нажимаем кнопку Выполнить. Появляется диалоговое окно Результаты поиска решения. В нем мы читаем сообщение: Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. На выбор предлагаются варианты: Сохранить найденное решение или Восстановить исходные значения. Выбираем первое. Можно также вывести отчеты: по результатам, по устойчивости, по пределам.

    После нажатия OK вид таблицы меняется: в ячейках X₁ и X₂ появляются оптимальные значения: X₁ – 3,913043 и X₂ – 1,73913. Соответственно пересчитываются все формулы. Целевая функция достигает значения 265,2174.

    В Приложении III приводится краткий справочник по основным функциям Excel, используемым в вычислениях, составленный по справочным материалам программы.

    В Приложении IV приводится краткий справочник по использованию пакета анализа Excel.

     ОСНОВНЫЕ  ВИДЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОЛОГИИ

     Моделирование вообще и математическое моделирование  в частности является эффективным средством изучения геологических систем, объектов и событий. Каждая модель служит некоторым их отражением и характеризует наиболее существенные особенности.

     Модели  можно разделить на материальные, аналоговые и символьные (рис. 4).

     Материальные  модели представляют собой выполненные в определенном масштабе макеты геологических объектов. Например, существуют материальные модели кристаллических решеток минералов, модели идеальных кристаллов с различными наборами граней, морфологические модели рудных тел и др.

     Аналоговые  модели основаны на замене природных геологических процессов, явлений другими, воспроизводимыми в лаборатории, процессами, которые описываются одинаковыми математическими правилами и уравнениями. Например, движение подземных вод, процессы переноса в них вещества, явление диффузии и многие другие можно моделировать движением электрического тока в аналоговых устройствах.

     Символьные  модели, которые делятся на графические и математические, имеют особое значение при математическом моделировании. К графическим моделям относятся разнообразные геологические карты, разрезы, проекции, схемы и графики. Они позволяют наглядно изобразить геологические объекты и характеристики их свойств, а также дать интерпретацию многих операций математического моделирования.

    Математические  модели можно разделить на три группы. В первой группе анализируются характеристики в пределах однородных совокупностей свойств объектов вне связи их с пространственным размещением, это группа статистических моделей. Они бывают одномерные, двухмерные и многомерные.

    Во  второй группе учитываются пространственные координаты пунктов наблюдений, что позволяет изучать пространственные геологические поля. Модели делятся на детерминированные и вероятностные. В детерминированных моделях предполагается, что состояние системы однозначно определяется исходными или начальными данными и полностью предсказуемо в пространстве. Вероятностные модели характеризуются тем, что состояние системы и прогнозные значения свойств геологических объектов неоднозначно зависят от начальных или исходных данных и могут быть предсказаны с какой-то вероятностью в определенном диапазоне значений.

    Третья  группа охватывает случайные процессы, в которых учитывается фактор времени.

    При решении задач обработки геохимических данных и моделирования структуры и процессов формирования геологических объектов наиболее широко используются стандартные методы математической статистики, различные варианты кластерного и факторного анализа, методы линейного программирования и численного решения систем уравнений в частных производных методом конечных разностей [11].

ЗАДАЧИ  МАТЕМАТИЧЕСКОГО  МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

     При разведке месторождений накапливается  большое количество информации: геологическая документация разведочных выработок, данные опробования, результаты геофизических, геохимических исследований и др. В дальнейшем информация перерабатывается с целью построения геологических карт, разрезов, погоризонтных планов, проекций рудных тел, подсчета запасов и решения других вопросов. До появления ЭВМ информацию обрабатывали вручную, что приводило к значительным затратам труда и времени. После появления ЭВМ, особенно персональных компьютеров, мощных серверов и сетей, накопление и обработка геологической информации значительно ускорилась, но и сейчас еще ряд технологических операций в разведке месторождений осуществляется вручную.

     Одно  из первых назначений компьютера при разведке месторождений состоит в накоплении, систематизации, обработке и передаче геологической информации. Но главное направление при разведке месторождений заключается в математическом моделировании месторождений, что позволяет решать вопросы, касающиеся подсчета запасов, определения качества минерального сырья, геолого-экономической оценки месторождений. На базе математического моделирования месторождений можно проектировать горно-добывающие предприятия, планировать и управлять добычей минерального сырья и решать многие другие прикладные задачи.

     Существует, по крайней мере, три направления  моделирования месторождений: геоинформационное, аналитическое и блочное. Все они имеют между собой много общего.

     Геоинформационное моделирование предназначено в основном для моделирования и построения карт любого назначения, в том числе геологических карт земной поверхности и, как частный случай, построения геологических карт месторождений. Существуют специальные пакеты программ для построения карт, такие как ArcInfo, Arcwiev и др. Пакеты позволяют редактировать и преобразовывать полученную информацию, получать «слои» с различной информацией и совмещать их на одном чертеже.