Границе раздела двух жидкостей в пористой среде

На контуре  питания радиуса  поддерживается постоянное давление , на забое скважины радиуса - постоянное давление , толщина пласта h и его проницаемость k также постоянны. Обозначим через соответственно начальное и текущее положение контура нефтеносности , концентричные скважине и контуру питания, через РВ и РН – давление в любой точке водоносной и нефтеносной области соответственно, через Р – давление на границе раздела жидкостей.

В случае установившегося плоскорадиального  движения однородной жидкости распределение  давление в потоке и скорость фильтрации описывается следующими уравнениями:

 

;(24)

.(25)

 

Где:

- Радиус контура питания пласта, М;

- Радиус скважине, М;

r– Радиус пласта в точке X, М.

Если  изобару, совпадающую в данный момент с контуром нефтеносности, принять  за скважину, то распределение давления и скорость фильтрации в водоносной области можно выразить так:

 

;(26)

.(27)

Где:

- Текущее положение контура нефтеносности,  М;

Р – Давление на границе раздела, Па;

- давление в любой точке нефтеносной области, Па.

А если эту  же изобару, совпадающую с  , принять за контур питания, то распределение давления и скорость фильтрации в нефтеносной области можно записать так:

 

;(28)

.(29)

 

Где:

- Давление в любой точке нефтеносной  области, Па.

Давление  на границе раздела жидкостей Р найдем из условия равенства скоростей фильтрации нефти и воды на это границе, для чего приравняем (27) и (29) при . В результате получим

 

,(30)

 

Откуда

 

.(31)

Определим характеристики рассматриваемого плоскорадиального  фильтрационного потока нефти и  воды.

1. Распределение  давления в водоносной и нефтеносной  областях найдем из уравнений  (26) и (28), подставив в них значения  давления на границе раздела Р из (31). В результате получим

 

;(32)

.(33)

 

Из этих формул видно, что закон распределения  давления вдоль радиуса-вектора  в обоих зонах логарифмический.

Если  знаменатель в формулах (32) и (33) представить  в виде

 

.(34)

 

то не трудно заметить, что при  ,уменьшающемся во времени (при стягивание контура нефтеносности) , этот знаменатель также уменьшается. А тогда из формул (32) и (33) следует, что давление в водоносной части пласта уменьшается, а в нефтеносной – растет. Таким образом, здесь наблюдается такая же картина, как и в прямолинейно – параллельном потоке.

2. Градиент  в обеих областях течения найдем, продифференцировав уравнение (32) и (33):

 

;(35)

.(36)

 

Из полученных формул следует, градиенты давления во времени растут как в водоносной, так и в нефтяной областях (так  как знаменатели в этих формулах уменьшаются во времени).

На границе  раздела жидкостей ( при  ) градиент давления в нефтеносной области больше, чем в водоносной во столько раз, во сколько больше . Это говорит о том, что на границе раздела жидкостей пьезометрическая линия имеет излом.

3. Скорости  фильтрации определим из закона  Дарси:

 

;(37)

.(38)

 

Подставив в (37) значение градиента давления из (35), а в (38) – из (36) получим

 

, ;(39)

, ;(40)

 

Из формул (39) и (40) видно скорости фильтрации как  воды, так и нефти растут во времени (так как знаменатель в указанных  формулах уменьшается во времени.

4. Дебит  скважины Q найдем, умножив скорость фильтрации w на площадьS=2пhr:

 

.(41)

 

При постоянной депрессии дебит скважины увеличивается  во времени, т. е. с приближением к  ней контура нефтеносности. Такое  самопроизвольное увеличение дебита нефти  перед прорывом воды в скважину подтверждается и промысловыми наблюдениями. При  формула (41) превращается в формулу Дюпюи.

5. Закон  движения границы раздела жидкостей  определим из соотношения между  скоростью фильтрации и средней  скоростью движения:

 

;(42)

.(43)

 

Интегрируя (43) в пределах от 0 до tи от R0 до rн , получим

 

(44)

.

 

Время вытеснения всей нефти водой Т найдем, подставив в уравнение (44) r=rс. В результате получим (пренебрегая по сравнению с )

 

.(45)

 

   5. Устойчивость движения границы раздела жидкостей

 

В реальных условиях движение границы раздела  жидкостей, естественно, сложнее, чем  по рассмотренным выше схемам, так  как водонефтяной (газоводяной) контакт  совершает сложное пространственное положение, в процессе разработки залежи нефти (газа) деформируется.

Пусть нефтяная залежь в наклоном пласте рис.6, имеет  начальное положение водонефтяного  контакта .

При отборе границы раздела вода – нефть  будет перемещаться, занимая последовательно  положения  и т. д. Рассмотрим вопрос об устойчивости движения границы раздела. Скорость фильтрации каждой жидкости согласно закону Дарси определяется при учете силы тяжести по формулам

 

;(46)

.(47)

 

Где:

 Угол наклона пласта к горизонту.

 

Рис.6. Схема движения водонефтяного  контакта в наклоном пласте

 

Вследствие  неизбежных возмущений на границе раздела  частицы воды попадают в область, занятую нефтью при этом их дальнейшее может либо ускоряться, либо замедляться. В первом случае, при ускорении  движении частиц воды, движение границы  раздела будет неустойчивым; во втором, при замедлении движения частиц воды, - устойчивым.

Условие устойчивости движения границы раздела  можно установить из следующих елементарных соображений. Обозначим через  скорость фильтрации частицы воды, попавших в поток нефти с градиентом давления ; через - проницаемость пласта для воды в зоне движения нефти.

Тогда из соотношения (46) имеем 

 

.(48)

 

Где:

- Скорость фильтрациичастиц воды, попавших в поток нефти, М/c;

- Плотность воды, ;

g – Ускорение свободного падения, ;

 Проницаемость пласта для  воды в зоне движения нефти.

Скорость  фильтрации основных частиц нефти, соприкасающихся  с проникшими туда частицами воды, согласно уравнению (47) будет

 

.(49)

 

Где:

 Плотность нефти,  .

Из уравнений (48) и (49) получаем связь между скоростями фильтрации и :

 

,(50)

 

откуда

 

.(51)

 

Об устойчивости движения границы раздела можно  судить по разности скоростей фильтрации:

 

.(52)

 

При движение границы раздела жидкостей будет устойчивым, при движение устойчиво.

Если  угол наклона пласта к горизонту  обозначить через  , то, очевидно, .

Тогда условие  устойчивости границы раздела (52) можно  представить в виде

 

.(53)

 

Тогда как  при устойчивом движении границы  раздела  , и то из (53) найдем, что при устойчивом движении границы раздела жидкостей скорость фильтрации нефти на границе раздела должна быть

 

.(54)

 

Более строгое  исследование рассмотренной задачи проводится методами теории возмущений и гидродинамической устойчивости.

 

Заключение

Подземная гидравлика является той  областью гидрамеханики, в которых  рассматривается не движение жидкостей  и газов вообще, а особый вид  их движения – фильтрации , которая  имеет свои специвические особенности. Она является теоретическойосновой разработки нефтяных,газовых и газоконденсатных месторождений.

Согласно  условию неразрывности потока массы  элементарные расходыобеих несжимаемых  жидкостей через элемент границыраздела, включающийточку М, должны быть равны  между собой. Отсюда следует, что  нормальные составляющие скоростей  фильтрации обеих жидкостей будут  равны, т.е.w1n=w2n. Давление в пласте в точке М также должно быть одинаково для обеихжидкостей, так как при малых скоростях (ниже звуковых) разрыва давленияв сплошном потоке быть не может. Касательные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостейбудут определятсяпо закону Дарси:

 

;(1)

.(2)

 

Определим теперь следующие характеристики фильтрационного  потока нефти и воды.

1.Распределение  давление в нефтеносной и водоносной  областях. Для этого подставим  (10) в (5) и (7):

 

;(11)

.(12)

 

Где:

РВ и РН – Давление в водоносной и нефтяной области соответственно, Па.

2.Скорость  фильтрации. Подставим (10) в (6) и  (8):

 

.(13)

 

3.Расход  жидкости (дебит галереи)Q

Умножим (13) на площадь сечения Bh:

 

.(14)

Где:

B – Толщина пласта, М;

h – высота пласта, М;

Q – Установившейся дебит скважины, .

4. Градиент  давления. Продифференцируем (11) и  (12) по X:

 

.(15)

.(16)

 

5.Закон  движения границе раздела  находим из соотношения скорости фильтрации и средней скорости движения:

 

,(17)

Откуда

.(18)

 

В реальных условиях движение границы раздела  жидкостей, естественно, сложнее, чем  по рассмотренным выше схемам, так  как водонефтяной (газоводяной) контакт  совершает сложное пространственное положение, в процессе разработки залежи нефти (газа) деформируется.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1.Баренблат  Г. И., и другие. Движение жидкостей  в пористых пластах. М., «Недра», 1984г., 211с.

2.Басниев  К. С., и другие. Подземная гидравлика. М., «Недра», 1986г.,300с.

3. Евдокимов  В. А., Кочин И. Н. Сборник  задач по подземной гидравлике. М., «Недра», 1979г., 168с.

4.Николаевский  В. Н. И другие. Движение углеводородных  смесей и газов в природных  пластах. М., «Недра», 1984г.,192с.

5. Харин А.  Ю., Харина С.Б. Учебно – методическое  пособиек выполнению курсовой  работы по курсу « Подземная  гидромеханика».