Временные ряды в эконометрических исследованиях

 

Пример. Построение аддитивной модели временного ряда. Рассмотрим данные об объёме потребления электроэнергии жителями района из ранее приведенного примера. Из анализа автокорреляционной функции было показано, что данный временнóй ряд содержит сезонные колебания периодичностью в 4 квартала. Объёмы потребления электроэнергии в осенне – зимний период (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По графику этого ряда можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это говорит о возможном наличии аддитивной модели. Рассчитаем её компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней.

Поскольку циклические колебания имеют  периодичность в 4 квартала, просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объёмы потребления электроэнергии (колонка 3 в таблице 1).

Разделив  полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (колонка 4 таблицы 1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

Поскольку скользящие средние получены осреднением  четырех соседних уровней ряда, т.е. четного числа значений, они соответствуют  серединам подынтервалов, состоящих из четверок чисел, т.е. должны располагаться между третьим и четвертым значениями четверок исходного ряда. Для того, чтобы скользящие средние располагались на одних временных отметках с исходным рядом, пары соседних скользящих средних ещё раз усредняются и получаются центрированные скользящие средние (колонка 5 таблицы 1). При этом теряются первые две и последние две отметки временного ряда, что связано с осреднением по четырем точкам.

Таблица 1.   

№ квартала	Потребление электроэнергии yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	6,0
2	4,4
3	5,0	24,4	6,10	6,25	-1,250
4	9,0	25,6	6,40	6,45	2,550
5	7,2	26,0	6,50	6,625	0,575
6	4,8	27,0	6,75	6,875	-2,075
7	6,0	28,0	7,00	7,1	-1,100
8	10,0	28,8	7,20	7,3	2,700
9	8,0	29,6	7,40	7,45	0,550
10	5,6	30,0	7,50	7,625	-2,025
11	6,4	31,0	7,75	7,875	-1,475
12	11,0	32,0	8,00	8,125	2,875
13	9,0	33,0	8,25	8,325	0,675
14	6,6	33,6	8,40	8,375	-1,775
15	7,0	33,4	8,35
16	10,8

 

 

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда (колонка 2 таблицы 1) и центрированными скользящими средними (колонка 5). Эти значения помещаем в колонку 6 таблицы 1 и используем для расчета значений сезонной компоненты (таблица 2), которые представляют собой средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период (в данном случае – за год) взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем точкам (здесь – по четырем кварталам) должна быть равна нулю.

Таблица 2.   

Показатели	Год	№ квартала, i
		I	II	III	IV
	1	-	-	-1,250	2,550
	2	0,575	-2,075	-1,100	2,700
	3	0,550	-2,025	-1,475	2,875
	4	0,675	-1,775	-	-
Итого за i – й квартал (за все годы)		1,800	-5,875	-3,825	8,125
Средняя оценка сезонной компоненты для i – го квартала,		0,600	-1,958	-1,275	2,708
Скорректированная сезонная компонента,		0,581	-1,977	-1,294	2,690

 

Для данной модели сумма средних оценок сезонной компоненты равна:

0,6-1,958-1,275+2,708=0,075.

Эта сумма оказалась не равной нулю, поэтому каждую оценку уменьшим на величину поправки, равной одной четверти полученного значения:

Δ=0,075/4=0,01875.

Рассчитаем  скорректированные значения сезонной компоненты (они записаны в последней  строке таблицы 2):

     (8)

Эти значения при суммировании уже равны  нулю:

0,581-1,977-1,294+2,69=0.

Шаг 3. Исключаем влияние сезонной компоненты, вычитая её значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаем величины:

T+E=Y-S       (9)

Эти значения рассчитываются в каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту (колонка 4 следующей таблицы):

Таблица 3.   

t				T	T+S		E2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	6,0	0,581	5,419	5,902	6,483	-0,483	0,2332
2	4,4	-1,977	6,377	6,088	4,111	0,289	0,0833
3	5,0	-1,294	6,294	6,275	4,981	0,019	0,0004
4	9,0	2,69	6,310	6,461	9,151	-0,151	0,0228
5	7,2	0,581	6,619	6,648	7,229	-0,029	0,0008
6	4,8	-1,977	6,777	6,834	4,857	-0,057	0,0032
7	6,0	-1,294	7,294	7,020	5,726	0,274	0,0749
8	10,0	2,69	7,310	7,207	9,897	0,103	0,0107
9	8,0	0,581	7,419	7,393	7,974	0,026	0,0007
10	5,6	-1,977	7,577	7,580	5,603	-0,003	0,0000
11	6,4	-1,294	7,694	7,766	6,472	-0,072	0,0052
12	11,0	2,69	8,310	7,952	10,642	0,358	0,1278
13	9,0	0,581	8,419	8,139	8,720	0,280	0,0785
14	6,6	-1,977	8,577	8,325	6,348	0,252	0,0634
15	7,0	-1,294	8,294	8,512	7,218	-0,218	0,0474
16	10,8	2,69	8,110	8,698	11,388	-0,588	0,3458

 

 

Шаг 4. Определим трендовую компоненту данной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда:

Подставляя  в это уравнение значения , найдем уровни Т для каждого момента времени (колонка 5 таблицы 3).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов, т.е. к значениям в колонке 5 таблицы 3 прибавим значения в колонке 3. Результаты операции представлены в колонке 6 таблицы 3.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производим по формуле:

      (10)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в колонке 7 таблицы 3.

По  аналогии с моделью регрессии  для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов  полученных абсолютных ошибок. Для  данной аддитивной модели сумма квадратов  абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению  к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%. Следовательно, можно  сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.

Пример. Построение мультипликативной модели временного ряда. Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние четыре года:

 

 

 

Таблица 4.   

Квартал     Год	I	II	II	IV
1	72	100	90	64
2	70	92	80	58
3	62	80	68	48
4	52	60	50	30

 

График  временного ряда свидетельствует о  наличии сезонных колебаний периодичностью 4 квартала и общей убывающей тенденции  уровней ряда:

Прибыль компании в весенне – летний период выше, чем в осенне – зимний период. Поскольку амплитуда сезонных колебаний уменьшается, можно предположить существование мультипликативной модели. Определим её компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в таблице:

 

Таблица 5.   

№ квартала	Прибыль компании	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	72
2	100
3	90	326	81,500	81,250	1,108
4	64	324	81,000	80,000	0,800
5	70	316	79,000	77,750	0,900
6	92	306	76,500	75,750	1,215
7	80	300	75,000	74,000	1,081
8	58	292	73,000	71,500	0,811
9	62	280	70,000	68,500	0,905
10	80	268	67,000	65,750	1,217
11	68	258	64,500	63,250	1,075
12	48	248	62,000	59,500	0,807
13	52	228	57,000	54,750	0,950
14	60	210	52,500	50,250	1,194
15	50	192	48,000
16	30