Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

Известны также технологические  коэффициенты a_ij, которые показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы изделия j-го вида (   ).

Прибыль, получаемая предприятием при реализации изделия j-го вида, равна c_j.

В планируемом периоде  значения величин a_ij, b_i и c_j остаются постоянными.

Требуется составить такой план выпуска продукции, при реализации которого прибыль предприятия была бы наибольшей.

Остается рассмотреть простой пример задачи такого класса.

Задача: Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере 2 д.е., а каждый шахматный набор - в размере 4 д.е. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 часов в день, участка В - 72 часа и участка С - 10 часов. Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?

Условия задач указанного класса часто представляют в табличной  форме (см. таблицу 1.1).

_{Таблица 1.1 - Исходные данные задачи об использовании производственных ресурсов}

Производственные  участки	Затраты времени на единицу продукции, час		Доступный фонд  времени, час
	клюшки	наборы шахмат
А	4	6	120
В	2	6	72
С	-	1	10
Прибыль на единицу  продукции, д.е.	2	4

По данному условию  сформулируем задачу линейного программирования.

Обозначим: x₁ - количество выпускаемых ежедневно хоккейных клюшек, x₂ - количество выпускаемых ежедневно шахматных наборов.

Формулировка ЗЛП:

= 2x1 + 4x2 → max;
4x1 + 6x2 ≤ 120,  2x1 + 6x2 ≤ 72,  x2 ≤ 10;
x1 ≥ 0,   x2 ≥ 0.

Подчеркнем, что каждое неравенство в системе функциональных ограничений соответствует в  данном случае тому или иному производственному  участку, а именно: первое - участку А, второе - участку В, третье - участку С.

Повторимся, методы решения  ЗЛП мы будем рассматривать чуть позднее, а сейчас - пример задачи другого  типа.

 

 

 

2. Задача о смесях (планирование состава продукции).

К группе задач о смесях относят задачи по отысканию наиболее дешевого набора из определенных исходных материалов, обеспечивающих получение смеси с заданными свойствами. Иными словами, получаемые смеси должны иметь в своем составе m различных компонентов в определенных количествах, а сами компоненты являются составными частями n исходных материалов.

Задача: На птицеферме употребляются два вида кормов - I и II. В единице массы корма I содержатся единица вещества A, единица вещества В и единица вещества С. В единице массы корма II содержатся четыре единицы вещества А, две единицы вещества В и не содержится вещество C. В дневной рацион каждой птицы надо включить не менее единицы вещества А, не менее четырех единиц вещества В и не менее единицы вещества С. Цена единицы массы корма I составляет 3 рубля, корма II - 2 рубля.

Составьте ежедневный рацион кормления птицы так, чтобы обеспечить наиболее дешевый рацион.

Представим условие  задачи в таблице 1.2.

_{Таблица 1.2 - Исходные данные задачи о смесях}

Питательные  вещества	Содержание веществ в единице массы корма, ед.		Требуемое количество  в смеси, ед.
	корм I	корм II
А	1	4	1
В	1	2	4
С	1	-	1
Цена единицы  массы корма, р	2	4

 

Сформулируем задачу линейного программирования.

Обозначим: x₁ - количество корма I в дневном рационе птицы, x₂ - количество корма II в дневном рационе птицы.

 

Формулировка ЗЛП:

= 3x1 + 2x2 → min;
x1 + 4x2 ≥ 1,  x1 + 2x2 ≥ 4,  x1 ≥ 1;
x1 ≥ 0,   x2 ≥ 0.

 

3. Транспортная задача.

Под транспортной задачей понимают целый ряд задач, имеющих определенную специфическую структуру. Наиболее простыми транспортными задачами являются задачи о перевозках некоторого продукта из пунктов отправления в пункты назначения при минимальных затратах на перевозку.

Задача: Три поставщика одного и того же продукта располагают в планируемый период следующими его запасами: первый – 120 условных единиц, второй – 100 условных единиц, третий – 80 условных единиц. Этот продукт должен быть перевезен к трем потребителям, потребности которых равны 90, 90 и 120 условных единиц, соответственно.

Обычно начальные условия транспортной задачи записывают в так называемую транспортную таблицу (см. таблицу 1.3). В ячейках таблицы в левом верхнем углу записывают показатели затрат (расходы по доставке единицы продукта между соответствующими пунктами), под диагональю каждой ячейки размещается величина поставки x_ij (т.е. x_ij - количество единиц груза, которое будет перевезено от i-го поставщика j-му потребителю).

_{Таблица 1.3 - Исходные данные транспортной задачи}

 

Необходимо определить наиболее дешевый вариант перевозок, при этом каждый поставщик должен отправить столько груза, сколько имеется у него в запасе, а каждый потребитель должен получить нужное ему количество продукции.

Сформулируем ЗЛП:

= 7x11 + 6x12 + 4x13 + 3x21 + 8x22 + 5x23 + 2x31 + 3x32 + 7x33 → min;
x11 + x12 + x13 = 120,  x21 + x22 + x23 = 100,  x31 + x32 + x33 = 80,  x11 + x21 + x31 = 90,  x12 + x22 + x32 = 90,  x13 + x23 + x33 = 120;
xij ≥ 0,   ( , ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Геометрический (графический) метод решения задач ЛП

 

Если система ограничений  задачи линейного программирования представлена в виде системы линейных неравенств с двумя переменными, то такая задача может быть решена геометрически. Таким образом, данный метод решения ЗЛП имеет очень узкие рамки применения.

Однако метод представляет большой  интерес с точки зрения выработки  наглядных представлений о сущности задач линейного программирования.

Геометрический (или графический) метод предполагает последовательное выполнение ряда шагов. Ниже представлен порядок решения задачи линейного программирования на основе ее геометрической интерпретации.

1. Сформулировать ЗЛП.

2. Построить на плоскости {х₁, х₂} прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

3. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

4. Найти многоугольник решений.

5.  Построить прямую c₁x₁ + c₂x₂ = h, где h - любое положительное число, желательно такое, чтобы проведенная прямая проходила через многоугольник решений.

6. Перемещать найденную  прямую параллельно самой себе  в направлении увеличения (при  поиске максимума) или уменьшения (при поиске минимума) целевой функции. В результате, либо отыщется точка, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение, либо будет установлена неограниченность функции на множестве решений.

7. Определить координаты  точки максимума (минимума) функции и вычислить значение функции в этой точке.

Далее рассмотрим пример решения ЗЛП графическим методом. Для этого воспользуемся представленной ранее задачей о хоккейных клюшках и шахматных наборах.

 

1. Формулировка задачи уже приводилась, здесь нам остается лишь повторить ее:

 

= 2x1 + 4x2 → max;
4x1 +6x2 ≤ 120,  2x1 +6x2 ≤ 72,  x2 ≤ 10;
x1 ≥ 0,   x2 ≥ 0.

 

2. Теперь построим  прямые, соответствующие каждому  из функциональных ограничений  задачи (см. рисунок 2.1). Эти прямые  обозначены на рисунке в виде (1), (2) и (3).

 

_{Рисунок 2.1 - Геометрическое решение  ЗЛП}

3. Штрихи на прямых  указывают полуплоскости, определяемые  ограничениями задачи.

4. Область допустимых решений  включает в себя точки, для  которых выполняются все ограничения  задачи. В нашем случае область представляет собой пятиугольник (на рисунке обозначен ABCDO и окрашен синим цветом).

5. Прямая, соответствующая целевой  функции, на рисунке представлена  пунктирной линией.

6. Прямую передвигаем параллельно  самой себе вверх (направление указано стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой многоугольника решений, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет его, является точка C. Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению задачи.

7. Осталось вычислить  координаты точки С. Она является  точкой пересечения прямых (1) и  (2). Решив совместно уравнения  этих прямых, найдем: , . Подставляя найденные величины в целевую функцию, найдем ее значение в оптимальной точке .

Таким образом, для максимизации прибыли компании следует ежедневно  выпускать 24 клюшки и 4 набора. Реализация такого плана обеспечит ежедневную прибыль в размере 64 д.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Пример решения задачи ЛП геометрическим методом

 

При откорме  каждое животное должно получить не менее 10 ед. питательного вещества S₁, не менее 15 ед. вещества S₂ и не менее 28 вещества S₃ . Для составления рациона используют два вида корма. Составить рацион минимальной стоимости.

Питательные вещества	Количество единиц питательных  веществ в 1 кг. корма
	корм 1	корм 2
S1 = 10	2	1
S2 = 15	1	3
S3 = 28	2	4
Стоимость 1 кг. корма	2	5

 

Необходимо найти минимальное  значение целевой функции F=2x₁+5x₂→min, при системе ограничений (исходя из условия):

 

Построим прямые уравнения, для чего заменим в ограничениях знаки неравенств на точные равенства:

(1) 2x₁ + x₂ = 10

Точки, через которые  проходит прямая:

x₁ = 5, x₂ = 0 ; x₁ = 3, x₂ = 4.

 

(2) x₁ + 3x₂ = 15

Точки, через которые проходит прямая:

x₁ = 0, x₂ = 5 ; x₁ = 6, x₂ = 3.

 

(3) 2x₁ + 4x₂ = 28

Точки, через которые проходит прямая: