Метод продолжения по параметру в задачах идентификации экономических моделей

fy">     Более прослеживаемой характеристикой, связанной  с капиталом и определяющей его  динамику, являются инвестиции в оборотный  и/или основной капитал. Они являются, как правило, реально используемой в производстве частью капитала, а  их динамика соответствует конъюнктуре  рынка. Инвестиции относительно хорошо измеряемы и несклонны к влиянию  переоценок. Но динамика инвестиций недостаточна для установления используемого  в производстве капитала, так как  освоение некоторых инвестиций (новое  строительство, закупка оборудования, реконструкция объектов и т. п.) требует значительного времени, а сформированный в прошлом капитал склонен к  износу. Инвестиции – это величина «потоков», а капитал – величина «запасов».

При отсутствии инвестиций производство может некоторое  время функционировать и за счёт собственного накопленного капитала.

       Несмотря на эти очевидные  различия, некоторые исследователи  (Бессонов, 2002; Рахлина, Лукашин, 2004; Демченко, 2006; Сюань, 2007) строят так называемые «инвестиционные» ПФ , отличающиеся от традиционных «капитальных» используя простую замену фактора «капитал» K на текущие инвестиции I. Но отметим, что от таких моделей производства трудно ожидать оценок высокого качества.

В данной работе рассматривается метод построения капитальных ПФ вида по информации об инвестициях, разработанный В. К. Горбуновым совместно с А. Г. Львовым¹ (2009-2010).

     При этом также оцениваются показатели освоения инвестиций, амортизации капитала и динамика эффективно используемого  капитала на периоде наблюдения. 
 

     3. Метод построения  производственных функций по данным об инвестициях.

3.1 Краткое описание  метода продолжения  решения по параметру.

Пусть t - параметр, меняющийся от 0 до1. Введем в рассмотрение некоторую систему

H(x,t)=0           

такую, что:

1)при  t = 0 система имеет решение ;

2)при  t=1   система имеет решение ;

Вектор-функция  H(x,t)=0 может быть выбрана различными способами. Рассмотрим два наиболее распространенных варианта

     (1)  H(x,t)=F(x)+(t-1)F( )=0

При t= 0 получаем: F( )- F( )=0,  т.е. условие 1) выполнено. При t =1 F( )-(1-1) F( )= 0.

И, наконец, вектор-функция H(x,t) непрерывна по t .

     (2) H(x,t)=t*F(x).

Нетрудно  проверить соблюдение условий 1) - 2) для этой вектор-функции.

Идея  метода состоит в следующем. Полагаем  и решаем систему при выбранном . Получаем вектор . Далее, берем его в качестве начального приближения и решаем при новом систему , получаем и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Нелинейные системы  на каждом шаге по t решаются, например, методом Ньютона, который обычно сходится, так как и лежат близко друг к другу. Если несмотря на это решение не получается за 6-7 итераций, уменьшается и система решается снова, Последовательность шагов реализации алгоритма состоит в следующем.

Шаг 1 . Формирование системы ,

Шаг 2. Выбор начального приближения , (например, = 0 ) и точности решения .

Шаг 3. Полагаем i=1.

Шаг 4. Вычисляем (обычно вначале =0).

Шаг 5. Решаем систему . Получаем вектор . При этом считаем число итераций m.Если m>10, значит метод Ньютона уже не сойдется, так как и слишком далеки друг от друга. Тогда надо уменьшить в два раза и вернуться к шагу 4.

 Считаем,  что  найдено.

Шаг 6.  Проверяем, достигли ли мы  величины  t=1. Если t<1,то переходим к шагу 4,иначе – конец.

      При этом считаем, что   = . 

     3.2. Метод построения  «капитальной» производственной  функции по данным  об инвестициях.

     Метод основывается на построении капитальной ПФ из некоторого параметрического класса

        (1)

по данным о выпуске , инвестициях , и затратах труда :

       . (2)

     Подход основан на использовании динамики производственных фондов

       , , (3)

или

           

определяемой на промежутке наблюдения помимо инвестиций также начальным капиталом ;

- коэффициент амортизации фондов,

- параметр, определяющий характер запаздывания освоения инвестиций.

При этом величины , , должны оцениваться вместе с параметрами ПФ методом наименьших квадратов (МНК).

Важно, что в данной модели вводим и анализируем динамику эффективно используемых , а не «формальных» (балансовых) фондов. Это является специальной проблемой, рассматриваемой рядом авторов (Воскобойников, 2004; Ханин, Фомин, 2007).

      Модель (1), (2), (3) в предельном случае, когда инвестиции осваиваются без значительной задержки, то есть , и фонды амортизируются за один период ( ), совпадает с «инвестиционной» моделью . Такой вариант совпадения объсняет характер «доверчивости» простого перехода от фондов (запасов) к инвестициям (потокам).

      Задача оценивания увеличенного набора параметров методом наименьших квадратов является нелинейной и значительно вычислительно сложной даже для простейшего класса ПФ типа Кобба – Дугласа.

Рассмотрим, созданный для минимизации невязки специальный вариант метода продолжения по параметру, позволяющий решать сложные задачи оптимизации. В нашем случае «базовая задача» с простым решением определяется начальным (экспертным) набором искомых параметров, по которым строится виртуальная динамика выпуска . Процесс параметрического продолжения заключается в решении серии задач МНК с данными о выпусках

      , , где параметр продолжения возрастает от до .

     Для тестовых примеров строилась простейшая однородная функция Кобба – Дугласа

            , (4)

параметры которой положительные, по модельной информации, рассчитанной по более содержательным ПФ:

однородной функции ПЭЗ , (5)

где параметры , , степень однородности,

и по функции Солоу . (6)

Эта функция  является неоднородным обобщением ПЭЗ. Здесь ограничения на параметры  аналогичны, и степени ненулевые. Мы использовали в тестовых примерах более общие классы функций, чем класс поиска, в соответствии с тем, что модель (функция КД) всегда проще исследуемого объекта. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     4. Реализация метода.

     Приведем результаты построения ПФ для двух тестовых примеров. Для первого примера были выбраны следующие параметры функции (5): . Начальный капитал норма амортизации коэффициент освоения инвестиций . Во втором примере параметры функции (6) . Динамические параметры: В обоих примерах

     Исходные и смоделированные данные для примеров 1 и 2 представлены в таблицах 1 и 2 соответственно.

Таблица 1. Данные и оценка эффективного капитала примера 1

Таблица 2.  Данные и оценка эффективного капитала примера 2