Стабилизация перевернутого маятника

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ

И СОЦИАЛЬНО-ПРАВОВОЙ ЗАЩИТЫ ДЕТСТВА 

Муниципальное образовательное  учреждение

средняя общеобразовательная  школа № 187

с углубленным изучением  отдельных предметов 
 
 

Техника – колесница прогресса

(изобретательство, конструкторская деятельность) 

Исследовательская работа 
 
 
 

Стабилизация  перевернутого маятника 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:

Санников  Станислав Александрович,

Ученик  11А класса, 17 лет

Руководитель:

Учитель высшей категории

Пархоменко  Т. Л. 
 
 
 
 
 

г. Нижний Новгород

2007 г. 
 

Оглавление 

1. Введение                                                                                                    3
2. Виды равновесия и его условия                                                           4            
3. Фазовый портрет осциллятора                                                            4
4. Однозвенный перевернутый маятник                                               6                
5. Понятие управления объектом                                                            9
6. Моделирование управления объектом с применением программы МАТLАB                                                                                                 
7. Список используемой литературы                                                     13

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     Колебательные процессы играют  исключительно важную роль во  всех областях науки и в  нашей повседневной жизни. Раскачивается подвешенный на нити груз маятника, колебания поршня в цилиндре двигателя приводят в движение автомобиль, части нашего тела совершают колебательное движение при ходьбе. Периодически повторяются многие процессы во Вселенной. Установление любого процесса тоже происходит колебательным образом.

     Все эти явления и многие  другие очень похожи на простое колебательное движение маятника, описываются аналогичными уравнениями, к ним можно применить однотипную методику расчетов.

     Однако мир колебаний очень  широк. Идеальный математический  маятник является лишь абстракцией, моделью, отдельные элементы которой имеют место в окружающей жизни. В реальности же мы чаще встречаемся с физическими маятниками, с системами, совершающими колебательное движение, а также с телами, находящимися в состоянии неустойчивого равновесия.

      Свою работу я решил посвятить маятнику, находящемуся в состоянии неустойчивого равновесия – вертикально поставленную палочку, имеющую центр тяжести выше точки опоры. Управление перемещением точки опоры позволяет превратить неустойчивую, всегда падающую, вертикально стоящую, палочку в устойчивую.

     Едва заметным перемещением точки  опоры пользуются не только  жонглеры в цирке, главное –  этот метод можно эффективно  использовать в военной области  для стабилизации положения ракетных  установок, других военных и  гражданских объектов.

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Виды  равновесия и его  условия 

     Равновесием называется состояние,  при котором, несмотря на приложенные  силы, тело находится в состоянии  покоя.

     Для равновесия необходимо, чтобы  сумма внешних сил, приложенных  к телу, была равна нулю, и чтобы сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу относительно любой оси, была равна нулю. Центр масс такого тела должен оставаться в покое.

Равновесие  бывает трех типов: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Когда равновесие нарушается под воздействием небольших внешних воздействий, оно называется неустойчивым. Если при отклонении от положения равновесия возникает возвращающая сила, направленная к положению равновесия, это устойчивое положение равновесия.

     Удобнее всего описывать положение равновесия с помощью понятия энергии. В устойчивом положении равновесия центр тяжести тела занимает положение с наименьшим запасом потенциальной энергии. Форма потенциальной ямы определяет отклонения от положения равновесия. Тело многократно проходит положение равновесия, пока действие диссипативных сил не приведет к тому, что колебания прекратятся. Такое тело называется осциллятором. 

Фазовый портрет осциллятора

     Уравнение движения линейного  осциллятора, описывающее его  свободные колебания, имеет вид:

                                              

Здесь х – смещение от положения равновесия для механических систем (например, отклонение математического маятника), δ – параметр, характеризующий потери (трение), ω₀ – собственная частота осциллятора, и - соответствующие производные по времени. Линейный осциллятор – частный, но очень важный пример линейных динамических систем. Если ввести новую переменную , уравнение перепишется в виде системы двух уравнений: , . Плоскость переменных называется фазовой плоскостью уравнения. Каждой точке фазовой плоскости соответствует определенное состояние системы. Уравнение интегральных кривых на фазовой плоскости имеет вид: . Решения уравнения у = у(х,С) образуют семейство интегральных кривых. Интегральные кривые, на которых определено направление движения, называются фазовыми траекториями. Через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна траектория.

     Интегральные кривые на плоскости  переменных  представляют собой эллипсы, оси которых совпадают с координатными осями, большие полуоси которых определяются параметром С.

     Фазовый портрет перевернутого маятника показан ниже. Тип равновесия представляет собой седло, асимптоты, проходящие через начало координат, называются сепаратрисами.

     Фазовый портрет линейного осциллятора с малым затуханием – скручивающаяся спираль, состояние равновесия – устойчивый фокус. 

     В случае осциллятора, совершающего  затухающие апериодические колебания,  состояние равновесия – устойчивый  узел.

     Введение в систему отрицательного трения, сопротивления приводит к тому, что состояния равновесия становятся неустойчивыми. 

        
 
 
 
 

Перевернутый маятник 

Перед нами плоский маятник с перемещаемой точкой опоры (рис.1).

 

                                

                                     

               
 
 
 

                                          

                                                   

                                                            
 
 
 

                                                                                                            Рис. 1.

                                                                                    

- угол отклонения маятника  от вертикали;

- горизонтальное смещение точки  опоры в плоскости  качания  маятника;

- длина маятника;

- масса 

     Найдем  функцию Лагранжа и составим с  ее помощью уравнения движения. Непосредственно  находим координаты , массы маятника

;  ; 

Далее находим кинетическую и потенциальную энергию. 

Кинетическая  энергия – это энергия механической системы, зависящая от скоростей  движения составляющих ее частей. В  классической механике кинетическая энергия материальной точки массы , движущаяся со скоростью , равна:

;

;  ;   ; 

; 

;   ; 

Следовательно:

; 

Потенциальная энергия – часть общей механической энергии системы зависящая от взаимного расположения ее частиц и  от их положения во внешнем силовом  поле.

; 

; 

; 

Функция Лагранжа:

; 

;

или

; 

Составляем  уравнение Лагранжа:

;

В рассматриваемом случае

; 

; 

; 

И поэтому  уравнение Лагранжа принимает вид 

; 

; 

; 

; 

; 

 

Ограничимся малыми углами и упростим это уравнение, записав его в виде 

;         (3) 

При ,  т.е. при неподвижной точке опоры маятника, уравнение (3) переходит в хорошо нам известное уравнение маятника, линеаризованное вблизи верхнего неустойчивого положения равновесия. Это неустойчивое равновесие типа седла. А мы хотим, чтобы оно сало устойчивым равновесием типа узла или фокуса.

Воспользуемся возможностью выбора смещения точки опоры, возможностью управлять ее положением.

       (4) 

Уравнение превратилось в уравнение осциллятора с устойчивым положением равновесия , т.е чтобы маятник, стоя к верху , вел себя также, как если бы он висел в низ и колебания его затухали ( ).