Шпаргалка по "Физике"

Краевая задача для уравнений теплопроводности состоит в том, чтобы найти  решения уравнения теплопроводности в области  , удовлетворяющие начальному и граничным условиям.

Начальное условие состоит в  том, что задано распределение температуры  в начальный момент времени в  заданном теле:

Обычно полагают .

Граничное условие означает, что  задано тепловое взаимодействие между  поверхностью тела и окружающей средой.

Граничные условия бывают разных типов. Будем рассматривать только два  типа:

1. Граничные условия I типа (рода) – на поверхности тела задано распределение температуры:

Если на всей поверхности задано только граничное условие I типа, то такая задача называется I-ой краевой задачей.

2. Граничные условия II типа (рода) – на поверхности тела задан тепловой поток:

Если на всей поверхности задано только граничное условие II типа, то такая задача называется II-ой краевой задачей.

Обозначим , где – длина стержня, – время. 

Первая краевая задача:

Вторая краевая задача:

Определение 1.

Решением I-ой краевой задачи (1), (2), (3) называется функция , удовлетворяющая уравнению (1), начальному условию (2) и граничным условиям (3).

Определение 2.

Решением II-ой краевой задачи (1), (2), (4) называется функция , удовлетворяющая уравнению (1), начальному условию (2) и граничным условиям (4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.

Обозначим .

Теорема 1.

t

 

T

 

 

 

 

 

0

            x

Пусть функция  удовлетворяет в области однородному уравнению теплопроводности:

Тогда достигает свои максимальные и минимальные в значения в начальный момент времени (при ) или на границе стержня ( или ).

Пояснение:

Если в стержне  нет внутренних источников тепла, то температура в стержне не может  быть больше, чем в начальный момент времени или на границе стержня.

23. Следствия из  принципа максимума для уравнения  теплопроводности. Устойчивость решения  первой краевой задачи.

Рассмотрим I краевую задачу:

Предположим, что  непрерывны на своих множествах и .

Теорема 3.

Пусть функции  непрерывны в , удовлетворяют однородному уравнению теплопроводности в и , тогда .

Теорема 4.

Пусть функции  непрерывны в , удовлетворяют в однородному уравнению теплопроводности и выполнено неравенство , тогда .

Теорема 5.

Пусть , удовлетворяет в однородному уравнению теплопроводности и , тогда .

Теорема 6.

Устойчивость  решений I краевой задачи.

Решение I краевой задачи (1), (2), (3) (из класса ) устойчиво.

 

24. Единственность  решения первой краевой задачи  для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим I краевую задачу:

Предположим, что  непрерывны на своих множествах и .

Теорема 2.

Теорема единственности.

Пусть решения задачи (1), (2), (3), тогда в .

25. Решение первой  краевой задачи для уравнения  теплопроводности методом Фурье.

Рассматриваем первую краевую  задачу: требуется найти функцию  , удовлетворяющую уравнению:

, (1)    

начальному условию:

  (2)    

и граничным условиям I рода:

  (3)    

Предполагаем, что  .

Составим формальный ряд:

 (5)

 (6)

Таким образом, ряд (5), где коэффициенты вычисляются по формуле (6), является формальным решением задачи (1) – (3).

Докажем, что:

1. Ряд (5) сходится в ;
2. Сумма ряда непрерывна в ;
3. Ряд (5) можно почленно дифференцировать в один раз по t и два раза по x;
4. Функции и непрерывны в .

 

26. Задача Коши  для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона.

Задача Коши для уравнения теплопроводности состоит в том, чтобы найти  функцию  , непрерывную и ограниченную в , удовлетворяющую в уравнению теплопроводности

  (1)   

и начальному условию

   (2)   

Чёткого соответствия с физическим объектом, например стержнем, у данной задачи нет.

Докажем, что для любой непрерывной  и ограниченной в  функции решение задачи Коши (1), (2) существует и определяется формулой:

  (3)   

Интеграл (3) называется интегралом Пуассона.

Свойства:

1. Интеграл (3) сходится в D;
2. Функция удовлетворяет уравнению (1) в D;
3. Функция удовлетворяет начальному условию (2);
4. Функция ограничена в .

Кроме того, заметим (без доказательства), что  .

27. Единственность  решения задачи Коши для уравнения  теплопроводности.

Теорема 1.

Единственность  решения задачи Коши (1), (2).

Пусть непрерывные и ограниченные в решения задачи Коши (1), (2), тогда в .