Шпаргалка по "Физике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Апреля 2013 в 01:10, шпаргалка

Описание

1.Классификация линейных уравнений 2-го порядка на плоскости. Уравнение характеристик.
2.Математическая модель малых колебаний струны.
...
24. Единственность решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
25. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.
26. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона.
27. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Работа состоит из  1 файл

opredelenia_vazhnoe_ur_mat_fiz.docx

— 380.55 Кб (Скачать документ)

1.Классификация  линейных уравнений 2-го порядка  на плоскости. Уравнение характеристик.

Основные уравнения математической физики:

  1. Волновое уравнение (колебательные процессы).

  1. Уравнения теплопроводности (распределения тепла, диффузия).

  1. Уравнение Лапласа (стационарные процессы).

 

Рассмотрим линейное уравнение 2-ого  порядка:

 (1)

Уравнение (1) линейное, т. к. функция U и её производные в первой степени.

Предполагается, что  дважды непрерывно-дифференцируема в области .

 

От переменных x, y перейдём к переменным :

Предполагаем, что  и тоже дважды непрерывно дифференцируемы и якобиан в области .

После подстановки в (1) получим линейное уравнение, эквивалентное исходному:

   (1’)

Лемма.

Функция является частным решением уравнения:

 (2)

тогда и только тогда, когда  соотношение  является общим интегралом обыкновенного дифференциального уравнения следующего вида:

  (3)

 

Определение 1.

Уравнение

  (3)

называется характеристическим для дифференциального уравнения

 (1),

а его общие интегралы  называются характеристиками уравнения (1).

 

Рассмотрим характеристическое уравнение (3). Пусть  или . Для определённости пусть . Поделим исходное уравнение (3) на :

 

Возможны три случая:

  1. в рассматриваемой области , тогда уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в области .
  2. в рассматриваемой области , тогда уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в области .
  3. в рассматриваемой области , тогда уравнение (1) называется уравнением параболического типа в области .

Гиперболический тип.

 

  1. Эллиптический тип.

 

  1. Параболический тип.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Математическая  модель малых колебаний струны.

уравнение поперечных колебаний  струны имеет вид:

Если  .

Если внешней силы нет, то уравнение принимает вид:

3.Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера.

Обозначим .

Задача Коши состоит в том, чтобы  найти функцию  , непрерывную и ограниченную в замкнутой области в , удовлетворяющую уравнению колебания струны:

 (11)

и начальным условиям:

  (12)

Решение задачи Коши (11), (12) даётся формулой (формула Даламбера):

 

4.Устойчивость  решения задачи Коши для уравнения  колебаний струны.

Пусть – решение задачи (11), (12), а функция – решение задачи:

Докажем, что  и , где T – фиксировано : если и , то .

5. Постановка краевых задач для уравнения колебаний струны.

Краевая задача для уравнения  состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения,  удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям.

Начальное условие имеет вид:

Будем рассматривать только два  вида граничных условий. Пусть  – конец струны.

  1. Граничное условие I рода (конец движется по закону ):

Если  , то говорят, что конец жёстко закреплён.

  1. Граничное условие II рода (задана сила натяжения):

Если  , то говорят, что конец свободен.

Таким образом, I краевая задача для струны имеет вид:

Функция должна быть непрерывна в , имеет в непрерывную производную , имеет в производные .

II краевая задача имеет вид:

Требуем, чтобы функции  были непрерывны в , а функции непрерывны в .

6. Краевая задача о малых колебаниях полуограниченной струны с закреплённым концом. Метод продолжения.

Рассмотрим краевую задачу для полуограниченной струны :

Предположим, что  .

Продолжим функции  нечётным образом на :

Таким образом, решение задачи (1) – (3) имеет вид:

7. Решение первой краевой задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье

Рассмотрим задачу:

Требуется найти функцию, непрерывную  в  , имеющую в непрерывную производную и непрерывные в производные , удовлетворяющую (1) – (3).

      (7)

 

Равенства (5) и (6) выполнены, если:

      (8)

Таким образом, формальное решение  задачи (1) – (3) имеет вид ряда (4), где  коэффициенты вычисляются по формулам (7), (8).

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Интеграл энергии для волнового уравнения.

Найдём выражение для  энергии малых поперечных колебаний  струны. Предполагаем, что в некоторый  момент времени струна находится в положении равновесия, то есть .

 

 (5)


 

Интеграл (5) называется интегралом энергии  для уравнения колебаний струны.

9. Единственность решения первой краевой задачи для уравнения струны.

Рассмотрим первую краевую  задачу:

Предполагаем, что  .

 

Теорема 1.

Пусть – решения задачи (6) – (8). Тогда .

10. Уравнение Лапласа.  Постановка краевых задач для  уравнения Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет  вид:

, где 
– оператор Лапласа. (1)

Определение 1.

Функция называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению (1) в . Здесь – ограниченная область из .

11. Формулы Грина для оператора Лапласа.

Первая формула Грина:

(2)

Вторая формула Грина:

(4) 

Формулы Грина можно доказать при  условии, что  . Далее считаем, что в формулах (2), (4) .

 

12. Интегральное представление гармонических функций.

 

Пусть – ограниченная область в с гладкой границей . Пусть функция .

Основная интегральная формула  Грина:

(5)

Если в формуле (5) U – гармоническая в функция, то получаем интегральное представление гармонической функции:

    (6)

13. Свойства гармонических функций.

Пусть функции  , тогда по I-ой формуле Грина:

    (7)

Если, кроме того, функция  – гармоническая в , то формула (7) имеет вид:

     (8)

(8) – вид I-ой формулы Грина для гармонической функции.

Докажем следующие свойства гармонической  функции  :

  1. Если , то в ;
  2. Если , то в ;
  3. .

14. Теорема о среднем для гармонических функций.

Теорема 1.

О среднем (для  гармонических функций).

Пусть – гармоническая функция в области . Тогда для любой точки и любой сферы

15. Принцип максимума для гармонических функций.

Пусть – ограниченная область с границей .

Теорема 1.

Пусть функция  гармоническая в , тогда функция достигает своих в максимального и минимального значений на границе области.

 

 

 

Теорема 2.

Пусть – связное множество, функция гармонична в . Если функция достигает максимального (минимального) в значения внутри области, то в .

16. Следствия из  принципа максимума для гармонических  функций. Устойчивость решения  задачи Дирихле.

Рассмотрим задачу:

  (2)

Теорема 4.

Пусть функции гармоничны в . Если , то .

Теорема 5.

Пусть функции гармоничны в .

Если  , то .

Теорема 6.

Пусть гармонична в .

Если  , то .

Пусть – решение задачи:

  (3)

Пусть – решение задачи:

  (4)

Теорема 7.

Устойчивость  решения задачи Дирихле.

Решение задачи Дирихле (3) в  классе непрерывных в функций устойчиво.

17. Единственность  решения задачи Дирихле.

Рассмотрим задачу:

  (2)

Теорема 3.

Единственность  решения задачи Дирихле.

Пусть – решения задачи (2). Тогда в .

18. Задача Дирихле  в круге. Метод Фурье.

Пусть .

Рассмотрим задачу Дирихле:

Предполагаем  .

Перейдём к полярным координатам. Обозначим:

Получаем задачу:

 

 (3)      

  1. Ряд (3) сходится в ;
  2. Сумма ряда ;
  3. Ряд (3) можно почленно дифференцировать в два раза по и два раза по ;
  4. Функции .

 

19.Функция Грина  задачи Дирихле. Решение задачи  Дирихле с помощью функции  Грина.

Пусть – ограниченная область и – граница .

Определение 1.

Функцией Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в области называется функция вида , где – произвольная точка из , – произвольная фиксированная точка из , функция непрерывна по переменной в вместе с частными производными первого порядка (для каждой фиксированной ), – гармоническая в (по переменной ) и при .

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГРИНА.

Пусть , тогда справедлива основная интегральная формула Грина:

     (1)

Пусть , – гармоническая в . Тогда по II-ой формуле Грина:

       (2)

Из формулы (4) получаем представление  решения задачи Дирихле (5) с помощью  функции Грина:

(6)  

Если  – решение задачи Дирихле:

то из (6) получаем:

20. Вывод уравнения  теплопроводности.

Уравнение, описывающее процесс распространения тепла имеет вид (уравнение теплопроводности):

Если  , то , где – оператор Лапласа.

 – коэффициент температуропроводности, а показывает, есть ли в теле внутренние источники тепла.

 

21. Постановка  краевых задач для уравнения  теплопроводности.

Информация о работе Шпаргалка по "Физике"