Контрольная работа по "Физике"

     Значение  х < 110, а именно х₁ = 40, x₂ = 50, x₃ = 60, х₄ = 70, х₅ = 80, х₆ = 90, х₇ = 100 наблюдалось 4 + 6 + 6 + 10 + 16  + 28 + 14= 84 раза, следовательно   F* (x) =  84 / 100 = 0,84 при 100 < x £ 110.

     Значение  х < 120, а именно х₁ = 40, x₂ = 50, x₃ = 60, х₄ = 70, х₅ = 80, х₆ = 90, х₇ = 100, х₈ = 110 наблюдалось 4 + 6 + 6 + 10 + 16  + 28 + 14 + 8 = 92 раза, следовательно   F* (x) =  92 / 100 = 0,92 при 110 < x £ 120.

     Значение  х < 130, а именно х₁ = 40, x₂ = 50, x₃ = 60, х₄ = 70, х₅ = 80, х₆ = 90, х₇ = 100, х₈ = 110, х₉ = 120  наблюдалось 4 + 6 + 6 + 10 + 16  + 28 + 14 + 8 + 5 = 97 раза, следовательно   F* (x) =  97 / 100 = 0,97 при 120 < x £ 130.

     Так как x = 130 — наибольшая варианта, то F*(х) = 100 / 100 = 1 при x > 130.

     Напишем искомую эмпирическую функцию:

     F*(x) = 0 при x £ 40,

     F* (x) = 0,04 при 40< x £ 50,

     F* (x) = 0,1 при 50 < x £ 60,

     F* (x) = 0,16 при 60 < x £ 70.

     F* (x) = 0,26 при 70 < x £ 80.

     F* (x) = 0,42 при 80 < x £ 90.

     F* (x) = 0,7 при 90 < x £ 100.

     F* (x) =  0,84 при 100 < x £ 110.

     F* (x) =  0,92 при 110 < x £ 120.

     F* (x) =  0,97 при 120 < x £ 130. 

         F* (x) =1 при x > 130. 

     3.Найдём  относительные частоты.

     w_i =n_i / n = n_i / 100

 

     4.Построим  полигон частот, гистограмму относительных  частот.

     Полигоном частот называют ломаггую, отрезки которой соединяют точки (x_1,n₁), (x₂, n₂)…. (x_k, n_k),  где x_i—варианты выборки и n_i—соответствующие им частоты.

     Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, w₁), (х₂, w₂ ), . . . , (х_l, w_l), где x_i — варианты выборки и w_I —соответствующие им относительные частоты.

     При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены  все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят n_i —сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

     Гистограммой  частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению n_i / h (плотность частоты). Площадь частичного i-гo прямоугольника равна h(n_i / h)=n_i —сумме частот вариант, попавших в i-u интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки п.

     Гистограммой  относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению w_I / h (плотность относительной частоты). Площадь частичного i-го прямоугольника равна h(w_I / h)= w_i — относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

     Отложим на оси абсцисс варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты w_i. соединив точки (x_i, w_i) отрезками прямых, получим искомый полигон частот. 
 
 
 

 

     Найдём  плотность относительных частот, учитывая, что длина интервала  равна h = 10.

     w₁/ h = 0,04 / 10 = 0,004   

     w₂ / h = 0,06 / 10 = 0,006

     w₃ / h = 0,06 /10 = 0,006

     w₄ / h = 0,1 / 10 = 0,01

     w₅ / h = 0,16 / 10 = 0,016  

     w₆  / h = 0,28 / 10 = 0,028

     w₇ / h = 0,14 /10 = 0,014

     w₈  / h = 0,08 / 10 = 0,008

     w₉   / h = 0,05 / 10 = 0,005 

     w₁₀ / h = 0,03 / 10 = 0,003

     Построим  на оси абсцисс данные частичные  интервалы. Проведём над этими интервалами  отрезки, параллельные оси абсцисс, и находящиеся от неё на расстояниях, равных соответствующим плоскостям относительной частоты. 
 
 

     5.Для  исследуемой случайной величины  методом произведений найдём  несмещённые оценки генеральной  совокупности.

     Решение.

     Hecмещённой  называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

     Несмещенной оценкой генеральной  средней (математического  ожидания) служит выборочная средняя

       
 

     где x_i — варианта выборки, n_i-частота варианты x_i, n = объем выборки. 

     Если  первоначальные варианты x_i—большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т. е. перейти к условным вариантам u_i = x_i —С (в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»). Тогда

       

     Если  выборка задана в виде распределения равноотстоящих вариант и соответствующих им частот, то удобно находить выборочную среднюю методом произведений по формуле:

       
 

     где h — шаг (разность между двумя соседними вариантами); С—ложный нуль (варианта, которая расположена примерно в середине вариационного ряда); u_i = (x_i—C)/h — условная варианта;

     Для нахождения у исследуемой случайной  величины методом произведений несмещённые  оценки генеральной совокупности составим расчетную таблицу, для этого:

     1) запишем варианты в первый  столбец;

     2) запишем частоты во второй  столбец; сумму частот (100) поместим  в нижнюю клетку столбца;

     3) в качестве ложного нуля С выберем варианту (80) (варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем -1, -2, -3, -4 а под нулем 1, 2, 3,4,5.

     4) произведения частот  n_i на условные варианты u_i запишем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (- 56) отрицательных чисел и отдельно сумму (115) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (59) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца;

     5) произведения частот на квадраты  условных вариант, т. е. n_i *u_i² запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов: u_{i *} n_iu_i; сумму чисел столбца (463) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;

     6) произведения частот на квадраты  условных вариант, увеличенных  на единицу, т. е. n_i(u_i+l)², запишем в шестой контрольный столбец; сумму чисел столбца (681) помещаем в нижнюю клетку шестого столбца.

     В итоге получим расчетную таблицу