Теория автоматического управления

 Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный  технический университет

Кафедра технической  кибернетики и информатики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине

Теория автоматического  управления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил

студент группы УИТ-21

Авдошина А.А.

Проверил

Садомцев Ю.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Саратов 2011 

Содержание

 

 

 

Техническое  задание на проектирование

 

Система предназначена для стабилизации скорости вращения двигателя постоянного  тока, работающего при изменяющемся моменте сопротивления нагрузки.

Функционально-принципиальная схема системы представлена на рис.1.

 

 

Система состоит из двигателя (Д), работающего  на изменяющуюся нагрузку (Н), усилителя  мощности, в качестве которого используется генератор (Гm), дополнительного генератора (Г0) и регулятора (Р).

На вход регулятора поступает сигнал пропорциональный разности заданной скорости стабилизации и действительной скорости вращения нагрузки w, которая измеряется с помощью тахогенератора (ТГ). Кроме того, на регулятор могут подаваться: сигнал c делителя R1, R2, пропорциональный напряжению генератора Гm и сигнал , пропорциональный разности заданного тока якоря и действительного тока , измеряемого с помощью резистора .

Система работает следующим образом. При номинальной нагрузке вал двигателя вращается с заданной скоростью под действием напряжения с генератора Г₀. При этом напряжение с тахогенератора равно по величине и противоположно по знаку напряжению задатчика , и с выхода сумматора сигнал равен нулю. Кроме того, в этом режиме через двигатель протекает номинальный ток , и напряжение на резисторе равно по величине и противоположно по знаку напряжению , так что на выходе сумматора сигнал также отсутствует. Таким образом, при номинальной нагрузке, если , на обмотку возбуждения генератора (ОВГ) сигнал не подается, и напряжение на выходе генератора равно нулю.

При изменении нагрузки на величину изменяется скорость двигателя и ток якоря, что приводит к появлению сигналов на входе регулятора и, следовательно, к появлению напряжения на генераторе . В результате под действием суммарного напряжения на генераторов скорость двигателя становится близкой к номинальной.

Исходные данные для проектирования приведены в таблице 1.

Таблица 1

Ошибка регулирования	0,4
Время регулированиия	1,5
Радиус устойчивости	0,75
Индуктивность ОВ генератора	6,8
Индуктивность ОВ генератора	97,0
Коэффициент между ЭДС генератора и током ОВ генератора	100,0
Индуктивность якоря двигателя	0,9
Сопротивление якоря двигателя	1,9
Момент инерции на валу двигателя	0,033
Постоянная двигателя	0,42
Постоянная двигателя	0,25
Коэффициент передачи тахогенератора	0,2
	8,4
	4,2
Изменение момента сопротивления  нагрузки	1,1

 

Примечания:

1. В качестве объекта управления  принять двигатель с усилителем  мощности (генераторы  ).

2. При составлении математической  модели объекта сопротивлениями  и индуктивностями якорных обмоток  генераторов  пренебречь.

3. При анализе и синтезе системы  использовать описание объекта  управления в отклонениях от  режима стабилизации. При этом  считать, что изменение момента  сопротивления нагрузки от номинального  значения носит ступенчатый характер.

1. Синтез и  анализ непрерывной модели управления

 

1.1. Составление математической модели объекта управления

 

Запишем математическую модель системы  в форме Коши:

В векторно-матричной форме математическая модель будет иметь вид:

где − вектор состояний системы, f – внешнее возмущение,  

u- управляющее воздействие, − вектор измеряемых переменных.

Численные значения матриц A,B,C,G:

 

1.2. Исследование  на управляемость и наблюдаемость

 

Критерий управляемости:

Так как матрица A квадратная, то критерий управляемости может быть переписан в виде:

 

система полностью управляема.

 

Критерий наблюдаемости:

система полностью наблюдаема.

 

1.3. Составление  структурной схемы

 

Для построения структурной схемы  найдём изображения по Лапласу величин w(t), i(t), Ug(t). Для реализации ООС необходимо выполнение условия k₁,k₂ > 0.

Найдем W_uω по управлению, полагая f=0:

 

 

 

Структурная схема непрерывной  замкнутой системы:

 

 

Рис 2. Структурная схема непрерывной системы

 

 

1.4. Исследование  возможности решения задачи с помощью простейшего статического регулятора

 

На данном этапе курсовой работы за основу примем статический регулятор, как наиболее простой с точки  зрения реализации. Уравнения такого регулятора имеют вид:

,

где k1, k2- искомые коэффициенты передачи

  y1, y2 –измеряемые переменные.

 

Для определения области параметров k1 и k2  используем метод построения областей в плоскости этих параметров, в которых удовлетворяются те или иные требования. При этом в  первую очередь строим область, в которой замкнутая система асимптотически устойчива. Далее, определяются условия, при которых выполняются условия точности стабилизации  и требования к быстродействию.

 

1.4.1. Построение области  устойчивости

 

Для устойчивости замкнутой системы, должно выполняться условие устойчивости внутреннего контура.

Запишем характеристический полином  внутреннего контура:

,

тогда условием устойчивости будет: 

Очевидно, что при условии реализации отрицательной обратной связи это

условие выполняется при любых  > 0.

Для определения области устойчивости всей системы, определим ее характеристический полином.

Запишем характеристический полином  замкнутой системы:

Для определения параметров k1 и k2 воспользуемся  критерием устойчивости Гурвица, для  чего составим матрицу Гурвица и  найдём главные миноры. Учтем также, что k1 >0 и k2>0 (по условию отрицательной  обратной связи).

 

Рис 3. Область устойчивости замкнутой системы 

1.4.2. Построение области требуемой точности

 

Найдём передаточную функцию по возмущению:

При определении требуемой точности воспользуемся теоремой о предельных значениях. Оценим ошибку регулирования по свойству преобразования Лапласа:

M(s) ступенчатая функция, тогда:

Рис 4. Область требуемой точности 

1.4.3. Построение области требуемого быстродействия

 

Для определения условий и построения области требуемого быстродействия воспользуемся понятием степени  устойчивости .

Параметр  определяется абсолютной величиной вещественной части ближайшего к мнимой оси корня характеристического полинома устойчивой замкнутой систему и связан с временем регулирования приближенным соотношением: .

Определим значение

Найдем область устойчивости для  характеристического полинома , где

Произведём замену в характеристическом полиноме , где , тогда .

Тогда:

Для определения параметров k1 и k2 воспользуемся  критерием устойчивости Гурвица, для  чего составим матрицу Гурвица и  найдём главные миноры:

 

 

Рис 5. Область требуемого быстродействия

 

Как видно из рисунка, отображающего  найденные условия, для  системы  со статическим регулятором области  быстродействия не существует.

Таким образом, для данной системы  не может быть построен статический  регулятор, который удовлетворял бы всем требованиям, только частично скорректированный по точности и устойчивости.(k2>0; k1<0.341k2²+2.134k2+3.37).

 Из полученной области выбираем  коэффициенты частично скорректированного  статического регулятора k1 = 10 и k2 = 5.

 

1.5. Исследование  возможности решения задачи с помощью динамического регулятора.

 

Внутренний контур системы имеет  большой запас устойчивости, поэтому  для построения динамического регулятора методом ЛАЧХ достаточно применить  последовательную коррекцию.

Найдем передаточную функцию разомкнутой  системы:

    

Тогда k=1.107, 20lg(k)=0.883, ω1=3.535, ω2=ω3=63.285.

Далее методом ЛАЧХ  находим  динамический регулятор. Для этого  в одной системе координат  построим ЛАЧХ исходной разомкнутой  системы и желаемую ЛАЧХ с учетом всех требований предъявляемых к заданной системе.

По построенной желаемой ЛАЧХ найдем ПФ W^ж_раз(s):

Найдем k_ж:

 

Таким образом получаем:

По найденной желаемой передаточной функции разомкнутой системы найдем передаточную функцию последовательного корректирующего устройства:

 

 

Таким образом структурная схема  замкнутой системы с динамическим регулятором имеет вид:

Рис 6. Непрерывная система с динамическим регулятором

 

1.6. Анализ замкнутой системы управления с непрерывным регулятором

 

Для анализа частотных показателей  качества системы скорректированной  с помощью динамического регулятора построим частотные характеристики  для  . Тогда передаточная функция с учетом найденных параметров  k1  и k2  из области точности и передаточной функции динамического регулятора будет иметь вид:

Подставляя числовые значения, получим:

 

Система, скорректированная с помощью  динамического регулятора должна удовлетворять  заданным частотным показателям  качества. В данном случае показатель радиуса устойчивости  R*=0.75.

Для проверки этого условия необходимо построить в комплексной плоскости (U , jV) окружность с центром в точке (-1, j0) и радиусом R.

Для построения годографа нужно произвести замену s=jω в и произвести разделение на вещественную и мнимую часть .

Подставляя различные значения ω в можно получить точки годографа. Годограф построен на ЭВМ в среде «Mathlab».