Статистическое изучение выборочных данных экономических показателей

Государственное общеобразовательное учреждение высшего

профессионального

 образования Московской области

«Международный университет природы общества и человека "Дубна»

Филиал «Котельники»

Кафедра естественных и гуманитарных наук

 

 

 

 

Курсовая работа

 

По дисциплине «Теория  вероятности, математическая  статистика и      случайные процессы»

Тема работы: «Статистическое  изучение  выборочных  данных  экономических показателей »

 

 

 

                                                                    Выполнила: студентка 2-го курса

очной формы обучения гр. ПОВТ-21

___________________ И.И.Власова

                                           Проверил: доцент

___________________ Е.Ю.Орлова

 

 

 

 

Котельники-2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………………………………. ….3

Цель работы ………………...………………………………………………..…...3

Поставленные задачи………………………………..…………………..…….…3

1. Распределение вероятностей

           1) распределение Вейбулла………………………...……….……….….4

             2) Задача .....................................................................................................8

2. Исследование методами математической статистики

               1) Общие методы математической статистики…………………………11

               2) Исследование выборочных статистических данных……………….13

3. Корреляция величин

               1) Корреляция величин…….…...……………………………………….24

               2) Задача…………………………………………………………………..25

Заключение…………………………………………………………………………28

Список использованной литературы………………………..……………………29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Математическая  статистика, раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Предмет и метод математической статистики. Статистическое описание совокупности объектов занимает промежуточное  положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием  совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения  на отдельные объекты, — с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Например, данные гранулометрического анализа породы (то есть данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнительную информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия её образования и прочее.

Метод исследования, опирающийся  на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях  объектов, называется статистическим. Статистический метод применяется  в самых различных областях знания. Однако черты статистического метода в применении к объектам различной  природы столь своеобразны, что  было бы бессмысленно объединять, например, социально-экономическую статистику, физическую статистику.

 

        Цель работы: исследование эмпирических данных методами теории вероятности и математической статистики.

       

        Поставленные задачи:

1. Подробное изучение распределения непрерывной случайной величины с точки зрения теории вероятности на примере логарифмически-нормального распределения
2. Исследование статистических данных методом математической статистики
3. Изучение корреляции величин и нахождение с помощью коэффициента корреляции линейной зависимости случайных величин

1. Распределение Вейбулла

   Это распределение чаще всего используется для исследования интенсивности отказов для периодов приработки и старения. Надежность наиболее распространенных элементов электрических сетей, таких, как силовые трансформаторы, КЛ, в значительной степени определяется надежностью работы изоляции, «прочность» которой изменяется в течение эксплуатации. Прочность изоляции в зависимости от условий эксплуатации и вида изделия определяется механической прочностью, эластичностью, исключающей возможности образования остаточных деформаций, трещин, расслоений под воздействием механических нагрузок, т. е. неоднородностей.

Однородность  и монолитность структуры изоляции и ее высокая теплопроводность исключают возникновение повышенных местных нагревов, неизбежно приводящих к увеличению степени неоднородности электрической прочности. Разрушение изоляции при функционировании элемента происходит в основном в результате нагревания токами нагрузок и температурных воздействий внешней среды. Механические нагрузки (вибрации, деформации, удары и др.) также приводят к разрушению изоляции.

Среди перечисленных факторов, определяющих срок службы изоляции указанных элементов  электрических сетей, одним из основных факторов, является тепловое старение. На основании экспериментальных исследований было получено известное «восьмиградусное» правило, согласно которому повышение температуры изоляции, выполненной на органической основе, на каждые восемь градусов в среднем вдвое сокращается срок службы изоляции. В настоящее время в зависимости от класса применяемой изоляции используются шести- , восьми- , десяти- и двенадцатиградусное правила.

Срок  службы изоляции в зависимости от температуры нагревания:

Tи = Ае-γς,                             (5.43)

где А — срок службы изоляции при ς = 0- некоторая условная величина;

γ- коэффициент, характеризующий степень старения изоляции в зависимости от класса;

ς — температура перегрева изоляции.

Другим  важным фактором, вызывающим интенсивное  старение изоляции, является механическая нагрузка, обусловленная электрическими процессами при резких изменениях тока, например при резкопеременной нагрузке силового трансформатора, набросах и сбросах нагрузки, сквозных токах КЗ. Механические характеристики прочности изоляции также зависят от температуры. Предел механической прочности изоляции быстро снижается по мере ее нагревания, но в то же время она становится более эластичной.

При воздействии переменных неблагоприятных  условий неоднородности материала  увеличиваются, например микротрещина распространяется в глубь изоляции и при случайном повышении напряжения может вызвать пробой изоляции. Причиной отказа может быть даже небольшая неоднородность материала.

Число неблагоприятных воздействий (тепловых или электромеханических), вызывающих пробой изоляции, есть функция, убывающая  в зависимости от размеров неоднородности. Это число минимально для наибольшей по размерам неоднородности (трещины, расслоения и др.). Т.о., число неблагоприятных  воздействий, или срок службы изоляции, должно подчиняться закону распределения  минимального числа из числа независимых  СВ — чисел неблагоприятных воздействий, соответствующих различным по размерам неоднородностям, т. е. если Ти — время безотказной работы всей изоляции, а Тиi — время безотказной работы i-го участка (i = 1, 2,..., n), то:

Tи = min (Tи1,Tи2,…,Tиn).               (5.44)

Таким образом, для определения закона распределения времени безотказной  работы такого объекта, как изоляция элемента электрической сети, необходимо найти вероятность распределения минимальных времен безотказной работы совокупности всех участков. Причем наибольший интерес представляет случай, когда законы распределения времени безотказной работы отдельных участков имеют произвольный характер, но вид законов распределения одинаков, т. е. резковыраженных отличающихся участков нет.

В смысле надежности участки такой  системы соответствуют последовательному  соединению. Поэтому функция распределения  времени безотказной работы такой  системы:

qc (t) = 1 – [1 - q(t)]n.                  (5.45)

Далее математическими преобразованиями выводится формула, при которой  основным параметром является «порог чувствительности», т. е. элемент гарантированно не откажет в интервале времени (0, t0) (в частном случае t0 = 0). Если распределение не имеет порога чувствительности t0, то закон распределения называется распределением Вейбулла:

(5.46)

где с > 0 – некоторый постоянный коэффициент;

α – параметра распределения.

Этот  закон распределения довольно часто  используется при аппроксимации  распределения времени безотказной  работы систем с конечным числом последовательно (в смысле надежности) соединенных  элементов (длинные КЛ со значительным числом муфт и др.).

Плотность распределения:

(5.47)

При α = 1 плотность распределения превращается в обычную показательную функцию (см. рисунок 5.12).

Рисунок 5.12 — Дифференциальная функция распределения времени безотказной работы изоляции по закону

Вейбулла

Рисунок 5.13 — Интенсивность отказов при

распределении по закону Вейбулла

Интенсивность отказов при распределении плотности  по закону Вейбулла (см. рисунок 5.13):

λ(t) = αctα-1.                           (5.48)

Интенсивность отказов для этого закона в  зависимости от параметра распределения  может расти, оставаться постоянной (показательный закон) и уменьшаться.

Как видно из рисунков 5.12 и 5.13 экспоненциальный закон распределения является частным  случаем закона Вейбулла при α = 1 (λ = const). При α = 2 функция распределения времени безотказной работы совпадет с законом Рэлея, при α »1 достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения в окрестности среднего времени безотказной работы.

При соответствующем подборе параметра α можно с помощью закона Вейбулла описывать надежность и стареющих элементов (период старения и износа), у которых λ(t) возрастает, и надежность элементов, имеющих скрытые дефекты (период приработки), у которых λ(t) убывает с течением времени.

Математическое  ожидание (среднее время) безотказной  работы и дисперсия при распределении  по закону Вейбулла:

Tи.ср = Г(1+1/α) c-1/α,                    (5.49)

Д(Tи) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)].     (5.50)

где Г(х) — гамма-функция

 

    

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задача

     Пассажир может уехать на любом из двух маршрутов автобусов.Закон времени ожидания прихода этих автобусов задается графикомплотности распределения вероятности случайной величины X.

 

Требуется найти:

1. параметр А,
2. плотность распределения f(x),
3. функцию распределения F(x) (найти аналитическую формулу и построить график),
4. числовые характеристики: математическое ожидание M(x), дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение (х),
5. вероятность того, что во время ожидания пассажиром автобуса составит от 3,5 до 6 (вероятность попадания величины в интервал (3,5;6))

 

Решение.

1)

f(x)=

     Найдем А по условию нормировки:

 

 +A

6А=1

А

2)

 

f(x)

3)   Используем формулу:

F(x)=

1.x

     F(x)=

2. x

    

3. x

     F(x)=+=+

-

4. х

     F(x)=++=+

F(x)=

  

График функции распределения

  4)   Найдем математическое ожидание по формуле 

M(x)=

    M(x)=

     С помощью формулы          D(x)=

найдем дисперсию:      D(x)=(=46.09

     =6.78

5) P(3.5<X<6)=F(6)-F(3.5)=

 

 

 

2. Исследование методами математической статистики

1. Общие методы математической статистики

      Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

       Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений[1]. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.

      Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластерный анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.

      Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.