Проверка сложных параметрических гипотез

  Вальдовская редукция сложных параметрических гипотез 

  В ситуации, когда нам необходимо выбрать  единственное решение из множества возможных предположений (например, при постановке диагноза или выборе метода лечения ),мы говорим о проверке сложных параметрических гипотез.

  При изучении проблемы, требующей принятия решения, мы получаем некоторые количественные показатели (или выборочные значения) , ,…, , которые образуют вектор

  При конкурирующих гипотезах  пространство выборочных значений разбиваем на  m областей  .Гипотеза  принимается, если выборочный вектор  принадлежит  .

  Когда определен критерий оптимальности, проверка сложных параметрических гипотез может быть проведена с применением вариационных методов. Частным случаем такого подхода является вальдовская редукция сложной параметрической гипотезы к простой. Она проводится с целью построения оптимальных критических областей на основании теоремы Пирсона. Задача сводится к формированию и решению нелинейных уравнений. При этом оптимально формировать критические области более простого вида.

  Рассмотрим дискретную постановку задачи:

   , ,…, , - параметры, появляющиеся при изучении пациентов

  Пусть имеется обобщённый показатель   такой, что может принимать только дискретный ряд значений . В этом случае гипотеза   описывается равенством  . Наличие ошибок измерений и индивидуальных свойств пациентов позволяет рассматривать модель измерения  , где e — случайная погрешность. Определим области   неравенствами  , i = 1, 2, …, m.

  Оптимальный выбор значений   может быть осуществлен, если каждому событию  , означающему выбор  , когда реально имеет место  , поставлена в соответствие величина потерь  . Матрица a вероятностей   событий   известна если известны  и закон распределения   ошибки e. Средние потери при использовании упрощенных   равны   и зависят от  , где   — вероятности появления гипотез  . Если   — нормальный закон,  , где   — символ функции Лапласа. Для каждого i условие   приводит к автономному уравнению относительно величины  , которое имеет вид  

где  ,   — численные коэффициенты, l зависит от i. Если   достаточно отличаются друг от друга, то многими слагаемыми в левой части можно пренебречь и уравнение допускает аналитическое решение.