Теория автоматического управления

Не будем останавливаться  на строгих математических определениях устойчивости, так как самих этих определений устойчивости имеется несколько, их применимость связана с видом нелинейности системы. Для инженерной практики важно понимание двух теоретических фактов, установленных А.М. Ляпуновым в 1891г.:

• Устойчивость нелинейной системы в окрестности номинальной траектории тесно связана с устойчивостью линеаризованной системы.
• Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами исследуется легко и эффективно.

Ограничимся инженерным понятием устойчивости, обычно достаточным  при проектировании линейных и линеаризуемых  систем.

Определение устойчивости системы (нестрогое):

С инженерной точки  зрения, устойчивость понимается так:

• Малое изменение исходных данных должно приводить к  малому же изменению результатов.

Для линейных систем с  постоянными коэффициентами  все определения  устойчивости эквивалентны и связаны с корнями характеристического уравнения, которое в разных представлениях САУ может выражаться несколько по-разному.

Рассмотрим  простейший случай, когда САУ задана передаточной функцией:

                               В этом случае характеристическое уравнение связано

                               с полиномов в  знаменателе передаточной  функции: 

                                       Р(р)=0  -     характеристическое  уравнение.

Как всякое полиномиальное уравнение порядка n с вещественными коэффициентами, оно имеет ровно n  корней (среди них возможны комплексно-сопряжённые).

Известно, что общее решение системы линейных дифференциальных уравнений или линейного дифференциального уравнения высокого порядка (эти понятия сводятся друг к другу)  выражается в виде суммы  общего решения однородного уравнения (с 0 правой частью) и частного решения неоднородного уравнения (формула (24)). Поэтому для того, чтобы переходный процесс заканчивался, надо, чтобы решение однородного уравнения в формуле (24) стремилось к 0 (или хотя бы  к константе).

                                                                                                                 

При тех  сигналах, которые имеются в САУ, частное решение обычно имеет  простой вид, не влияющий на устойчивость. Следовательно, вопрос устойчивости сводится  к устойчивости однородного уравнения.

Решение однородного уравнения  выражается через  корни характеристического уравнения и коэффициенты перед экспонентами, которые могут быть вычислены через вычеты:

                                                                                                  (1) 

                            здесь р_к – корни характ. уравнения n-го порядка.

Из этой формулы делаем основной вывод: чтобы  переходный процесс заканчивался:

• достаточно, чтобы вешественные части корней р_к   характеристического уравнения n-го порядка были отрицательные, в этом случае имеются затухаюшие по экспоненте решения;
• если имеются чисто мнимые корни, то в переходном процессе будут гармонические незатухающие компоненты.

Для проверки факта отрицательности вещественных частей корней (эквивалентного, конечно, устойчивости) имеется целый ряд критериев. Разница между этими критериями заключается в том, каким именно образом проверяется расположение корней в левой полуплоскости. Это можно сделать тремя способами:

• вычислив корни непосредственно, что бывает непростой вычисли-тельной  задачей, но для этого имеется много готовых программ;
• связав расположение корней с коэффициентами характеристического уравнения для последующего аналитического исследования. Это удобно для решения задач синтеза, но трудности вычислений быстро возрастают с ростом порядка системы;
• судить об устойчивости по частотным характеристикам замкнутой или разомкнутой САУ.

Первые два способа называются алгебраическими, последний частотным.  В инженерной практике необходимо иметь эффективные критерии исследования устойчивости, то есть удобные правила проверки устойчивости.

Замечание:  Сам по себе критерий не обязан быть необходимым и достаточным условием. Обычно получения такого критерия является делом более сложным, чем отдельно необходимого или достаточного критерия. Особенно ярко это проявляется в случае нелинейных систем, которые будут рассмотрены во второй части нашего курса лекций.

Алгебраические  методы исследования устойчивости.

 

• Необходимое условие устойчивости.

Если  корни характеристического  уравнения  лежат  в левой полуплоскости (система устойчива), то все коэффициенты уравнения имеют один знак:

           Р(р) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n = 0 ;        {a_k ><0} одновременно.

Равенство коэффициентов нулю не допускается (граница устойчивости).

Доказательство  очень простое, заключается в  разложении полинома на простейшие множители - скобки. Эти скобки могут быть вещественные или комплексно-сопряжённые. Объединим последние в пары и перемножим:

                                                                                                 (2) 

При раскрывании  скобок, если вещественные части корней отрицательны, а коэффициент а₀>0, получим полином с положительными коэффициентами. При отрицательном а₀ все коэффициенты полинома будут отрицательны.  Сама схема рассуждения показывает, что получено лишь необходимое условие устойчивости. Простейшие примеры это демрнстрируют:

Например: p² – p + 1– неустойчивый полином;

                   3p³ + p² - p + 1 – также неустойчивый.

Однако,     p² + p + 1– устойчивый полином  (необходимо вычислить корни);

         но!:   3p³ + p² + p + 1– также неустойчивый (проверьте!), хотя необхо-

                   димое условие устойчивости выполнено.

Приведённый пример показывает, что данное условие, в самом деле, лишь необходимое, но не обязательно достаточное. Область  его применения – отсеивание заведомо неустойчивых систем. 

• Необходимое и достаточное условие. Критерий Гурвица. 

(Адольф  Гурвиц, Цюрих 1895г.) 

При условии  a_n >0 (это условие легко изменить на противоположное) для устойчивости необходимо и достаточно выполнения  n неравенств: Г_k > 0 при к = 1,..,n , где n – порядок системы:

 
 

                                                                                                  (3) 
 
 

В первой строке каждого определителя находятся  нечётные коэффициенты уравнения. Во второй строке – чётные. Далее идёт сдвиг  на одно место вправо и т.д. В итоге проверяются n определителей, которые являются главными диагональными минорами матрицы Гурвица Г_n.

Сложности использования критерия Гурвица  быстро возрастают с ростом порядка  полинома. Возможно эффективное использование  критерия при величине n <5, так как при больших размерностях число проверяемых условий стремительно возрастает.

Рассмотрим  простейшие случаи.

• n = 1 :
• a₁ >0;  что в совокупности с {а_к >0} не даёт ничего нового.

Итак, в  системе первого порядка необходимое условие устойчивости совпадает с достаточным и сводится к одновременной положительности коэффициентов.

• n = 2 :
• a₁ >0;
• a₁ a₂ - a₀ a₃  >0;    в совокупности с {а_к >0} не даёт ничего нового,    так как а₃ =0  (его просто нет в уравнении 2 порядка).

В системе  второго порядка необходимое условие устойчивости также совпадает с достаточным и сводится к одновременной положительности коэффициентов.

• n = 3 : 
• a₁ >0;    
• a₁ a₂ - a₀ a₃>0;    
• a₃ Г₂  = a₃(a₁ a₂ - a₀ a₃) >0.

В этих трёх условиях 1 и 3 не дают ничего нового,  а второе условие является содержательным, отличая систему 3 порядка от 2 и 1.

В системе третьего порядка необходимое  условие устойчивости не совпадает с достаточным и сводится не только к одновременной положительности коэффициентов, но ик дополнительному неравенству:

                                               a₁a₂-a₀a₃                                                 (4)

Возвращаясь к примеру на предыдущей странице, становится понятно, почему полином  3p³ + p² + p + 1  является неустойчивым, так как не выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости a₁a₂-a₀a₃ >0, вытекающее из критерия Гурвица.  

При увеличении порядка системы n число подобных неравенств, требующих проверки, и их сложность стремительно растут, например, для системы порядка четыре необходимо проверить уже более сложное неравенство a₃(a₁a₂-a₀a₃)- a₄a₁²>0, а для порядка пять - двух ещё более сложных неравенств. Заметим, что существует целый ряд модификаций критерия Гурвица, в том числе, и существенно упрощающих вычисления, например, критерий Рауса. Доказательство критерия Гурвица-Рауса мы не приводим, так как оно достаточно сложное.

Частотные методы исследования устойчивости.

 

Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней характеристического полинома Р(р) с годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. графиком комплексно-значной функции Р(jw) при изменении w  от 0 до ¥.

Основным  теоретическим результатом является критерий А.В Михайлова. Этот критерий формулируется в терминах свойств годографа характеристического полинома, а следствия критерия Михайлова, например, критерий Найквиста, уже формулируются в виде требований к передаточным функциям.

 

• Необходимое и достаточное условие. Критерий Михайлова. 

(А.В.Михайлов, Москва 1938г.) 

Критерий  Михайлова основан на принципе аргумента функции комплексного переменного: при обходе любого замкнутого контура на комплексной плоскости переменного z приращение аргумента функции комплексного переменного  P(z): Δarg P(z)= (m-k)•2p, где m- число нулей функции P(z), а k- число полюсов функции P(z). Применительно к годографу характеристического полинома получаем следующее условие Михайлова, являющееся критерием устойчивости (данное условие - необходимое и достаточное):