f_воз(p)

       U(p)     e(p)                                                         Y (p)                                                  

                   (-)                                        

       Y_oc(p)                                                         

                                                                    

Это есть не что иное, как принцип суперпозиции, вытекающий из линейности. Например, выходной сигнал Y(p) и сигнал ошибки e(p) выражаются так:  

            Y(p)=W_зс(p)U(p) + W_f (p)f(p);     e(p)=W_e(p)U(p) + W_ef (p)f(p);     (4) 

Помимо  входного и выходного сигналов в  системе, важными являются сигналы ошибки e(t),  возмущающее воздействие f_воз,  сигнал обратной связи Y(p).

По отношению  к этим сигналам имеется несколько  часто использующихся передаточных функций:

• Главная передаточная функция  или передаточная функция замкнутой  системы:

                                                                                                    (5)

• Передаточная  функция по ошибке.

                                                                                                    (6)

 

W_e(p) - позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии.

• Передаточная  функция по возмущению (от возмущения к выходу).

                                                                                                    (7)

 

Эта передаточная функция позволяет выразить влияние  возмущения на выходной сигнал.

• Передаточная  функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке).

                                                                                                    (8)

• Передаточная  функция по обратной связи.

                                                                                                    (9)

 

 
 
 
 
 
 

Типовые входные воздействия.

 

      В соответствии с принципом суперпозиции  и линейности достаточно изучить  реакцию объектов на некоторые простые  типовые входные воздействия. Реакция на более сложные входные воздействия будет получаться как комбинация простых . 
 

1. Единичная ступенька  1(t). 

 
 

  

Преобразование  Лапласа имеет вид: 
 

2. Линейно нарастающее  входное воздействие    t(t).

 

 
 
 

Преобразование  Лапласа: 

Замечание:  Т.к. производная от единичной линейной функции равна 1,то:

                                                 ;                                   ; 

Замечание:  Y(p) = W(p) (pU(p)) = p W(p) U(p) ,   где p W(p) U(p) – производная выхода при нулевых начальных условиях. Это важнейшее свойство оператора Лапласа (дифференцирования) для линейных систем:

дифференцирование входного сигнала  переставимо (коммутирует) с передаточной функцией.

То есть фактически (математически) безразлично  вначале продифференцировать сигнал и после этого пропустить его через ПФ, или вначале пропустить, а затем продифференцировать выходной сигнал. На самом деле, справедливо и гораздо более сильное утверждение: передаточная функция коммутирует с любой аналитической функцией от оператора дифференцирования, например, полиномом P(p) или, скажем, экспонентой e^-p .

 3. Экспонента   e^at   с вещественным показателем.

 

Преобразование  Лапласа: 

Полученное выражение, конечно, справедливо и при любом  комплексном a.

Воспользуемся этим фактом, чтобы рассмотреть следующий  случай: 

4. Гармонические входные  воздействия   sin wt  и соs wt.  

С помощью Формулы  Эйлера и выделения вещественной и мнимой частей:

sin wt = Im e^jwt    т.к.  e^jwt =cos wt + j cos wt.

Соответственно  cos wt = Re e^jwt.

Поэтому преобразования Лапласа обоих функций  имеют вид:

L{sin wt} = L(Im e^jwt) = Im L(e^jwt) = Im (1/(p-jw)) = Im((p+jw)/(p²+w²)) =

Im(p/(p²+w² )+jw/ (p²+w²)) = w/ (p²+w²).

L{cos wt} = L(Re e^jwt) = Re L(e^jwt) = Re (1/(p-jw)) = Re((p+jw)/(p²+w²)) =

Re(p/(p²+w² )+jw/ (p²+w²)) = p/ (p²+w²). 
 

5. d(t)- функция (математическая модель очень короткого, но конечного воздействия большой мощности). 

Определение d(t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x(t):

                                                                                                                       (1) 

Поэтому преобразование Лапласа d(t)-функции имеет вид:   L{d(t)} = 1. 

Замечание: d(t)- функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функциями:

                                                                                                        (2)

                                                                                                         

                                        d/dt                                     d/dt

..….ю                                                                                                                   …… 
 
 

Так получается целый ряд полиномиальных функций, связанных операцией дифференцирования (интегрирования), продолжающийся в  обе стороны.  

Определение 2:

Переходной  функцией H(t)  объекта с передаточной функцией W(p) называется реакция на единичную ступеньку на входе при нулевых начальных условиях.

                                            H(p)=W(p)/p.                                               (3) 

Определение 3:

Весовой функцией  h(t)  (импульсной переходной функцией) блока с передаточной функцией W(p) называется реакция на d - функцию на входе при нулевых начальных условиях. 

                                           h(p)=W(p) 1=W(p).                                       (4)  

Очевидно, что  h(p)=pH(p), что соответствует (14).

Произведение изображений соответствует свертке оригиналов, поэтому имеется формула свёртки, выражающая выход блока через интеграл от произведения весовой функции и входного сигнала:

т. к.    Y(p)=W(p)U(p), то при подаче d(t) на вход, выход блока равен передаточной функции: Y(p)=W(p)1.   Поэтому по Определению 3:   h(p) =W(p). Сделаем обратное преобразование Лапласа и получим:

                                                                                                       (5) 

Выходной сигнал в каждый момент времени зависит не только от входного сигнала  в этот  момент времени, но и от входа во все предыдущие моменты времени с “весом”, определенным функцией   h(t).

      Из (5) и из (3) вытекает следующая схема проведения эксперимента по определению параметров звена (блока):

Первый  подход: подадим на вход d^*(t).

Пусть  d*(t) » d(t)  (т.к. d(t) физически не реализуема),  измерим h^*(t)»»h(t).

Теперь  можно вычислить    L{h^*(t)} = W^*(p) »» W(p). 

Другой  подход: На вход подаем 1(t).

Измеряем H(t)  и вычисляем W(p): 

Замечание: численное дифференцирование – некорректная операция.  

Устойчивость  систем автоматического  управления.

 

• Техническое понятие устойчивости отражает понятное и очевидное свойство "хорошей" технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при некотором, возможно небольшом, отклонении всевозможных параметров от номинала.
• Устойчивость системы - простейшее техническое требование в системы в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ.
• Свойство устойчивости, являясь простейшим свойством системы, без которого система неработоспособна, может быть выражено числовыми показателями, которые легко могут быть вычислены и непосредственно связаны со всеми другими показателями качества и точности системы.