Линейные цепи при периодическом негармоническом воздействии

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

им. А. Н. ТУПОЛЕВА

 

 

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

 

 

Кафедра радиотехники и  информационно-измерительной техники 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

по курсу: «Основы теории цепей».

на тему: «Линейные цепи при периодическом негармоническом воздействии»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                              

                                                   Выполнил:

                                                                   студент группы 5205

                         

                                                                 

                                                                                        Проверил:

                                                                                        доцент кафедры РИИТ

                                                                                         Козлов В.А.

                                                                             

 

 

 

 

Казань 2011

 

 

Содержание:

1. Задание на курсовую работу ………………………………………………… 3

2. Форма и параметры периодического сигнала, схема и параметры линейной электрической цепи………………………………………………….................... 4

3. Спектральный анализ периодических сигналов ……………………………. 5

4. Синтез периодического сигнала ………………………………….………….. 9

5. Расчет частотных характеристик линейной цепи …………………………...11

6. Преобразование периодического сигнала в линейной цепи ………….........18

7. Вывод ………………………………………………………………………......19

8. Список литературы ……………………………………………………………20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                          

 

 

 

                                                                  Задание на курсовую работу

 

1.1. Аналитически определить спектр периодического сигнала, форма и параметры которого указаны в таблице 1. Записать ряд Фурье, указать правила изменения амплитуд и начальных фаз гармоник спектра.

1.2. Используя  данные п. 1.1. провести с помощью  компьютера и программы «Sintfp1»  синтез сигнала по Фурье (в синтезе участвуют первые 20 гармоник спектра). Сопоставить форму одного периода сигнала на экране дисплея с графиком временной функции идеального сигнала, для которого проводилось разложение в ряд Фурье. Если полученные данные подтверждают правильность полученного ряда Фурье (отсутствуют существенные различия исходного и синтезированного сигналов), провести распечатку программы с правилами изменения временной функции заданного сигнала, амплитуд и начальных фаз гармоник спектра, графиками амплитудного спектра и временной функции синтезированного сигнала. Отметить отклонения временной функции синтезированного сигнала от идеальной формы, если они имеют место.

1.3. Провести  синтез сигнала с числом гармоник N1#20 (выбрать заранее несколько значений N1). На основании полученных результатов оценить активную ширину спектра сигнала, например по заданной среднеквадратической погрешности восстановления временной функции δ. Ее можно выбрать в пределах 0.001 – 0.1 в зависимости от формы сигнала. Для сигналов с крутыми фронтами погрешность восстановления всегда больше.

1.4. Определить  операторную передаточную функцию  по напряжению K(p) линейной цепи, схема и параметры которой заданы в таблице 1. Найти особые точки (нули и полюсы) передаточной функции. Построить карту нулей и полюсов. Записать выражения амплитудно-частотной (АЧХ) и фазово-частотной (ФЧХ) характеристик и построить их графики. Интервал частот, в которых определяются значения АЧХ и ФЧХ, выбирать с учетом расположения особых точек K(p) /6/. Рассчитать значения АЧХ и ФЧХ на частотах первых 20 гармоник спектра входного сигнала.

1.5. Аналитически определить спектр отклика цепи при заданном периодическом воздействии. Указать постоянную составляющую спектра отклика, законы изменения амплитуд и начальных фаз гармоник.

1.6. Используя данные п. 1.5. провести с помощью компьютера  и программы «Sintfp1» синтез временной  функции отклика (по 20 гармоникам). Распечатать текст программы  с правилами изменения амплитуд  и начальных фаз гармоник, графиками   временной функции отклика и его амплитудного спектра.

1.7. Сопоставить  временные и спектральные характеристики  воздействия и отклика, частотную  характеристику цепи и на этой  основе объяснить изменения формы  сигнала в результате его прохождения  через линейную цепь.

 

 

 

 

 

 

Форма и параметры  периодического сигнала, схема и  параметры линейной электрической  цепи

 

Вариант 26

 

Задана линейная цепь, схема которой показана на (рис.1), на вход которой подается  периодический негармонический сигнал s(t), изображенный на рис.2.Параметры сигнала и величин электрической цепи  приведены ниже в таблице 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

Параметры временной  функции сигнала		Параметры линейной цепи
Е, В	T, с	R1,кОм	R2, кОм	R3, кОм	R4, кОм	R5, кОм	С1, нФ	С2, нФ
3	2*10-4	80	12	24	48	48	1	1

 

 

 

           Спектральный анализ периодических сигналов

 

    

 

 

 

 

 

 

 

постоянная составляющая спектра

 

 

 

  коэффициенты ряда  Фурье

 

 

 

 

амплитуда n-ой гармоники

 

 

начальная фаза

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задан периодический сигнал. Необходимо определить его спектр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По графику видно что функция  четна, следовательно b(n)=0

 

Находим коэффициенты и постоянную составляющую ряда Фурье.

 

a(n)=                                                                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_.

Определяем амплитуды  гармоник A(n) и их начальные фазы

 

A(n)=

 

 

 

 

 

 

₌

 

 

 

 

 

₌

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее положим  для определенности, что N=20, и построим амплитудный и фазовый спектр периодического сигнала

 

Амплитудный спектр

 

                                                                                                   

 

 

 

 

Фазовый спектр

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Записываем ряд Фурье

 

 

 

 

 

Синтез сигнала  по Фурье

 

Для проверки правильности записанного выше ряда Фурье проведем восстановление  временной функции  с помощью программы "Sintfp1.mcd".

(по 20 гармоникам). Отмечаем отклонение временной функции синтезированного сигнала от идеальной формы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Синтез сигнала с  числом гармоник N(4÷20)

 

Относительная  среднеквадратическая погрешность восстановления временной  функции

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

Отличие восстановленного сигнала от исходного вызвана  тем, что восстановление проведено только по 20 гармоникам спектра. Достаточно  малая погрешность вызвана тем, что у исходного сигнала отсутствуют крутые фронты.

 

Оценим активную ширину спектра сигнала по заданной среднеквадратической погрешности восстановления временной  функции.

 

 

N	4	8	12	16	20
σ	0.019	7.406*10^-3	4.178*10^-3	2.775*10^-3	2,027*10^-3
Wактивная	1.257*10^5	2.513*10^5	3.77*10^5	5.027*10^5	6.283*10^5

 

f=1∕ T

 

Wактивная=2*π*f*N

 

N=4       Wакт=2*π*f*4=1.257*10^5

 

N=8       Wакт=2*π*f*8=2.513*10^5

 

N=12     Wакт=2*π*f*12=3.77*10^5

 

N=16     Wакт=2*π*f*16=5.027*10^5

 

N=20     Wакт=2*π*f*20=6.283*10^5

 

Расчет частотных  характеристик линейной цепи

            Идеальным операционным усилителем (ОУ) называется идеальный источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН), с бесконечно большим коэффициентом усиления k → ∞. Входные токи ОУ равны нулю. Выходное сопротивление идеального операционного усилителя также равно нулю.

 

 

 

Расчет операторной передаточной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим операторную передаточную функцию по напряжению K(p) линейной цепи.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим задачу методом узловых напряжений. Для этого включим на входе цепи идеальный источник тока J, пронумеруем независимые узлы. Обозначим напряжения узлов U₁₁…U_55. К 1-му узлу подключен источник тока J.Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1..4. Узел 5 не рассчитываем, т.к. он находятся на выходе усилителя. Однако для этого узла необходимо использовать основное уравнение ОУ, которое для схемы имеет вид:

U₅₅ = k(U₃₃- U₄₄) откуда, при К→∞,  U₃₃ = U₄₄,

 Получаем систему уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выходное напряжение:

 

 

 

 

 

Входное напряжение:

 

 

 

 

 

 

Получаем  коэффициент  передачи по напряжению:

 

 

 

Нахождение  особых точек (нулей и полюсов)

передаточной  функции

 

Операторная передаточная функция может быть представлена в виде отношения двух полиномов по операторной переменной р.

Особыми точками (нулями и полюсами) операторной функции цепи являются значения аргумента р₀₁ (нули), при которых М(р)=0, и значения аргумента р_*i (полюсы), при которых N(p)=0. Здесь i=1,2,… порядковый номер особой точки.

 

 

Находим нули функции:

 

P=0

Нулей функции нет.

 

Находим  полюсы функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                     Построение карты нулей и полюсов

 

            

 

 

Расчет частотных характеристик  проводится в определенном диапазоне  частот,

В котором проявляются  основные частотные свойства электрической цепи.

 

Диапазон частот определяется по карте нулей и полюсов операторной  функции.

Так как нулей нет  нижняя граничная частота равна  нулю .

 

Верхняя граничная частота  ω_в=(2-5)Smax, где Smax есть расстояние до самой удаленной от начала координат точки_.