Возможности использования ИКТ в изучении координат на плоскости в курсе математики 5 – 9 классов

     Определение гиперболы вводится в курсе алгебры  в общеобразовательных учреждениях  и в курсе геометрии в школах (классах) с углубленным изучением  математики. Исследование уравнения  гиперболы вводится в школах (классах) с углубленным изучением математики. 

     1.1.4. Построение гиперболы 

     Пусть требуется построить гиперболу, заданную каноническим уравнением, и  нам известны отрезки а и b.

     Строим  прямоугольник со сторонами АВ = 2а и ВС = 2b (рис. 8). Проводим диагонали, которые пересекутся в точке О. Через О проведем прямую параллельно прямой АВ (ось абсцисс). Она пересечет отрезки АD и CD в точках А₁ и А₂. Получили вершины гиперболы: А₁(-а; 0), А₂(а; 0). Прямая ОВ образует с осью абсцисс угол φ, причем tg φ = . Уравнение этой прямой: 

      Итак, ОВ – асимптота гиперболы. Аналогично получаем, что прямая ОА – вторая асимптота.  
 
 
 
 
 
 
 
 

     Теперь  уже можно примерно нарисовать гиперболу  так, чтобы ее ветви касались отрезков ВС и АD в точках А₁ и А₂ и приближались к соответственным асимптотам.

     Чтобы сделать более точный чертеж, укажем способ построения циркулем и линейкой произвольных точек гиперболы. Для  этого сначала найдем ее фокусы. Известно, что для гиперболы с² – а² = b² или с² = b² + а².

     В прямоугольном треугольнике ОВА₂ катеты А₂О и А₂В равны соответственно а и b, следовательно, ОВ = с. Отложим на оси Ох отрезки ОF₁ = OF₂ = с. Получим фокусы гиперболы.

     Теперь  проведем окружность с центром F₂ произвольным радиусом r и окружность с центром F₁ радиусом r + 2а. Если эти окружности пересекаются в точках М и N, то эти точки принадлежат гиперболе. Действительно, F₁M – F₂M = r +2a – r = 2a, также F₁N – F₂N = 2a.

     Заметим, что окружности не будут иметь  общих точек, если расстояние между  их центрами больше суммы радиусов:

     2с  > 2r + 2a, r < c – a.

     Окружности  касаются, если r = c – a; пересекаются в двух точках, если     r > c – a. 

     1.1.5. Парабола. Исследование параболы по ее уравнению 

     Парабола  есть множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой d (директрисы). Точка F не лежит на прямой d ⁴.

     Проведем  перпендикуляр FF₁ к директрисе d. Расстояние от фокуса F до директрисы обозначим через р: FF₁ = р (рис. 9).Выберем систему координат. Ось Ох проведем через точки F и F₁, начало координат возьмем в середине FF₁.

Тогда F(), F₁(). 

     Текущая точка параболы – М(х; у), ее проекция на прямую d – точка М₁(). 

     Точка М принадлежит параболе, если, и  только если, FM = M₁M. 
 

     Возведем  обе части уравнения в квадрат  и произведем алгебраические преобразования.

     х² – рх + = х² + рх +

     у² = 2рх.                               (14)

     Итак, координаты точек параболы удовлетворяют  уравнению (14). Можно доказать, что  любая точка, координаты которой  удовлетворяют этому уравнению, принадлежит параболе. Таким образом, равенство (14) есть уравнение параболы. 

     Исследование  уравнение параболы.

     Уравнению (14) удовлетворяют числа х = 0, у = 0, следовательно, парабола проходит через  начало координат. Других общих точек  с осями координат она не имеет. Так как 

Все точки  параболы имеют неотрицательные  абсциссы.

     Если  точка М₁(х₁; у₁) принадлежит параболе, то у₁² = 2рх₁. Это же равенство справедливо для точки М₂(х₁; - у₁). Парабола симметрична оси Ох.

     Определение параболы вводится в курсе алгебры  в общеобразовательных учреждениях, в школах (классах) с углубленным  изучением математики термин «парабола» вводится в курсе геометрии, также  изучается тема «Исследование уравнения  параболы».  

     1.1.6. Построение параболы 

     Парабола  задается фокусом F и директрисой d. Перпендикуляр FF₁, проведенный через F к прямой d – ось симметрии параболы. Отдельные точки параболы можно строить, непосредственно опираясь на ее определение (рис. 9).

     Проводим  прямую а, перпендикулярную оси FF₁. Пусть она пересекает ось в точке А (рассматриваем только те прямые, для которых точка А лежит на луче ОF). Строим окружность с центром в точке F и радиусом, равным отрезку АF₁. В пересечении этой окружности с прямой а получаем точки, принадлежащие параболе.

     Действительно, если точка М принадлежит указанной  окружности, то  FМ = АF₁, но АF₁ равно расстоянию ММ₁.

     Это означает, что точка М принадлежит  параболе.