Применение теоремы пифагора

 

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………...3

Глава I. История открытия теоремы Пифагора

§1.1. История открытия теоремы  Пифагора……………………………………….5

§1.2. Биография Пифагора……………………………………………………..........6

Глава II. Способы доказательства теоремы Пифагора

§2.1.1. Простейшее доказательство………………………………………………...8

§2.1.2. Доказательство Евклида…………………………………………….............8

§2.1.3. Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора……………………...9

§2.1.4.Доказательство теоремы  Пифагора через косинус угла………………….11

§2.1.5. Векторное доказательство теоремы……………………………………….11

§2.1.6. Доказательство Хоукинса………………………………………………….12

§2.1.7. Геометрическое доказательство методом Гарфилда…………………….13

§2.1.8. Доказательство теоремы  индийским математиком 

Бхаскари-Ачарна……………………………………………………………….......14

Глава III. Применение теоремы Пифагора

§3.1. Применение теоремы Пифагора…………………………………………….15

§3.2. Пифагоровы тройки…………………………………………………….........17

Заключение…………………………………………………………………………18

Список литературы………………………………………………………………....19

 

 

Введение

На протяжении многих лет людей интересовал  вопрос о теореме Пифагора и о  различных способах её доказательства. Причина такой популярности теоремы: это простота, красота и широкая  значимость. В современных школьных учебниках рассматриваются традиционные доказательства теоремы Пифагора. Это - алгебраическое доказательство, основанное на площади (применяется в учебнике «Геометрия 7-9», Л. С. Атанасяна), доказательство Евклида (рассматривается в учебнике «Геометрия: Учебник для 6-9 классов средней школы», А.П. Киселёв). Постепенно, появлялись новые способы доказательства теоремы…

Целью данной работы является:

1. Рассмотреть классические и малоизвестные доказательства теоремы, такие как доказательства Гарфилда, Хоукинса, Бхаскари-Ачарна, векторное доказательство теоремы и т.д.
2. Познакомиться с историей открытия теоремы
3. Изучить области применения теоремы
4. Сделать выводы о значении теоремы Пифагора

При работе с  рефератом были использованы различные  источники:

1) Учебно-методическая газета Математика, автор: Г. Остренкова, где рассматриваются сведения о жизни Пифагора, а также материал о Пифагоровых тройках.

2) Книга М.В. Ткачевой « Домашняя математика».

3) Интернет- ресурсы, в частности следующие сайты:

http://bankreferatov.ru/ (с  данного сайта использована основная информация о значении теоремы Пифагора), http://kvant.ru/ (здесь представлена статья об истории открытия теоремы Пифагора) , http://th-pif.narod.ru/formul.html (на данном сайте содержится информация о способах доказательства теоремы).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. История открытия теоремы Пифагора.

§1.1. История  открытия теоремы Пифагора.

Долгое время  считали, что до Пифагора эта теорема  не была известна. В настоящее время  установлено, что эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Так, оптимист Михаил Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам». Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона  Аменемхета I (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII —V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э. - и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

 

Рис. 1

§1.2. Биография  Пифагора.

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправился в Милет, где встретился с другим великим ученым – Фалесом, который посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. За всю свою жизнь Пифагор также побывал в Навкратисе (самосской колонии), где изучил язык и религию египтян. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена («пифагорейцы»), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Многие из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Способы доказательства теоремы Пифагора.

§2.1.1. Простейшее доказательство.

 Рис. 2

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных  на его катетах».

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис.2), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для такого треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах - по 2 треугольника. Теорема доказана.

 

§2.1.2. Доказательство Евклида.

Данное доказательство приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты (рис. 3) и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL — квадрату АСКG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

Рис.3

В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны  по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC=BD и FBC=d+ ABC= ABD. Но SABD =1/2 SBJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2 SABFH (BF—общее основание, АВ—общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC , имеем         S BJLD= SABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S JCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG=S BJLD+S JCEL= SBCED , что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений I книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.

§2.1.3. Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.

Пусть Т— прямоугольный  треугольник с катетами а, b и гипотенузой с

(рис. 4, а). Докажем, что с²=а²+в².

Построим квадрат Q со стороной а+в (рис. 4, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со стороной с. рис.4

Рис. 4

 

Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все  углы этого четырехугольника прямые. Пусть α и β— величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, α+β= 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными α и β, составляет развернутый угол. Поэтому А+90◦=180°. И так как α+β= 90°, то А=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р — квадрат со стороной с. Квадрат Q со стороной а+в слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .Так как S(Q)=(a+b)ˆ 2 ; S(P)=cˆ2 и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство             (a+b)ˆ 2=cˆ2+4∙(1/2)ab. Поскольку(a+b)ˆ2=aˆ2+bˆ2+2ab,то равенство (a+b)ˆ2=cˆ2+4∙(1/2)ab можно записать так: aˆ2+bˆ2+2ab=cˆ2+2ab. Из равенства aˆ2+bˆ2+2ab=cˆ2+2ab следует, что сˆ2=аˆ2+вˆ2. Что и требовалось доказать.

§2.1.4.Доказательство теоремы Пифагора через косинус угла.

Пусть АВС —  данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 5).

По определению  косинуса угла (косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе). соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB∙AD=ACˆ2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB∙BD=ВСˆ2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:

АСˆ2+ВСˆ2=АВ(AD + DB)=АВˆ2.

Теорема доказана.

 

рис.5

§2.1.5. Векторное доказательство теоремы.

Пусть АВС - прямоугольный  треугольник с прямым углом при  вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a

откуда имеем

c = a - b

возводя обе  части в квадрат, получим

c²=a²+b²-2ab

Так как a перпендикулярно b, то a∙b=0, откуда

c²=a²+b² или  c²=a²+b²

Теорема Пифагора снова доказана.

 

рис.6

 

§2.1.6. Доказательство Хоукинса.

Приведем еще  одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого - трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

S(CAA')=b²/2

S(CBB')=a²/2

S(A'AB'B)=(a²+b²)/2

Треугольники A'В'А  и A'В'В имеют общее основание  с и высоты DA и DB, поэтому :

S(A'AB'B)=c∙DA/2+ c∙DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

рис.7

§2.1.7. Геометрическое доказательство методом Гарфилда.

Дано: ABC-прямоугольный  треугольник

рис.8

Доказать: BCˆ2=ABˆ2+ACˆ2

Доказательство:

1) Построим отрезок  CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.

2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать  её как сумму площадей трёх  треугольников: 

S(ABED)=2∙AB∙AC/2+BC2/2

3) Фигура ABED является  трапецией, значит, её площадь  равна: 

S(ABED)=(DE+AB)∙AD/2.

4) Если приравнять  левые части найденных выражений,  то получим: 

AB∙AC+BC2/2=(DE+AB)∙(CD+AC)/2

AB∙AC+BC2/2= (AC+AB)2/2

AB∙AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB∙AC

BCˆ2=ABˆ2+ACˆ2. Что и требовалось доказать.

§2.1.8. Доказательство теоремы индийским математиком Бхаскари-Ачарна.

На рисунке 9 изображен квадрат с выделенными на нем четырьмя равными прямоугольными треугольниками. Именно из такого рисунка исходил в своем доказательстве в XII веке индийский математик Бхаскари-Ачарна.

  рис.9

Пусть сторона  большого квадрата (она же — гипотенуза прямоугольного треугольника) равна  с. Пусть также два его катета равны соответственно a и b. Тогда, в  согласии с чертежом, (a − b)ˆ2 + (4ab)/2 = сˆ2, то есть сˆ2 = aˆ2 + bˆ2. Следовательно, если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов его катетов действительно равна квадрату гипотенузы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава III. Применение теоремы Пифагора.

§3.1. Применение теоремы Пифагора.

Область применения теоремы достаточно обширна. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости:

Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать  как гипотенузу прямоугольного равнобедренного  треугольника с катетом а. Таким образом, d=2a²

рис. 10

 

Теорема Пифагора также применяется в литературе, мобильной связи, архитектуре (индийцы, например, использовали её для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта), а также в астрономии. В конце 19 века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать, но очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.