Воображаемую  геометрию Лобачевский развил до таких же пределов, до каких была развита геометрия Евклида. При  этом Лобачевский не встретил в ней  каких-либо логических противоречий. Однако он отчётливо понимал, что это  обстоятельство само по себе не доказывает, что Воображаемая геометрия действительно  непротиворечива, так как если противоречия имеются, то заранее нельзя предвидеть, на какой стадии развёртывания системы  они могут обнаружиться. Чтобы  доказать непротиворечивость своей  геометрии, Лобачевский предпринял глубокий алгебраический анализ основных её уравнений и тем самым дал  решение этого вопроса в такой  мере удовлетворительное, в какой  это было возможно для того времени.

      Доказательство  непротиворечивости геометрии Лобачевского на современном уровне строгости  дано в конце XIX века после установления общих принципов логического  обоснования геометрии.

      Результаты  исследований Лобачевского можно резюмировать следующим образом:

      1.Постулат о параллельных не является необходимым следствием остальных постулатов геометрии (как говорят, логически от них не зависит).

      2.Пятый постулат не вытекает из остальных постулатов, что наряду с геометрией Евклида, в которой этот постулат верен, возможна другая, «Воображаемая» геометрия, в которой он не имеет места.

      Лобачевский был учёным-материалистом. Материалистические взгляды он явно и настойчиво высказывал в своих сочинениях. Он безоговорочно  отвергал возможность априорных  знаний (умозаключения, не опирающиеся на знания фактов), в частности, кантианский тезис о том, что наши пространственные представления являются врождёнными и не имеют опытного происхождения. «Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука,- пишет Лобачевский,- должны быть ясны, и приведены к самому меньшему числу. Тогда они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врождённым – не должно верить» («О началах геометрии», 1829).

      Лобачевский глубоко и тонко понимал соотношение  между геометрией Евклида и своей  неевклидовой геометрией: обе геометрии логически непротиворечивы, и поэтому безнадёжны всякие попытки логически доказать, что единственно истинной является только первая из них; вопрос же о том, какая из этих геометрий более соответствует свойствам реального пространства, должен быть решён опытом.

      «В  моём сочинении о началах геометрии,- пишет Лобачевский,- я доказывал, основываясь на некоторых астрономических  наблюдениях, что в треугольнике, которого бока почти таковы, как  расстояние от Земли до Солнца, сумма  углов может разниться от двух прямых не более  ,0003 в шестидесятичных секундах градуса. Предположение употребительной Геометрии надобно, следовательно, почитать как бы строго доказанным, а вместе быть убеждену и в том, что независимо от опыта, напрасно было бы искать доказательства на такую истину, которая ещё не заключается сама собою в нашем понятии о телах» («Воображаемая геометрия», 1835).

Лобачевский называл геометрию Евклида «Употребительной», а свою – «Воображаемой». Это не означает, однако, что он считал свою геометрию замкнутой в себе чисто логической системой. 

Через пятнадцать лет, после смерти Лобачевского, его открытие стало общеизвестным и определило на столетие вперед развитие геометрической науки, оказало сильнейшее влияние на другие разделы математики, явилось одной из предпосылок глубокого преобразования физических представлений о пространстве и времени. 

6. Заключение

     1. Геометрия не только дает представление о фигурах. их свойствах. взаимном  расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, логически мыслить.

     2. Конечно, все особенности Евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой  работы послужили «Начала» Евклида. Знание основ Евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

Можно смело утверждать, что Евклид заложил  основы не только геометрии, но и всей античной математики.                 

     3.Именно критика Евклидовой геометрии, его теорий и предположений явила миру имена новых выдающихся математиков, также внесших большой вклад в мировую науку, и бесспорно вела к совершенствованию, как самой геометрии, так и других наук. И способствовала её формированию до образа той геометрии, которая изучается и используется сейчас, вобравшей в себя лучшие исследования и теории в этой области последних веков.

7. Список  литературы

1.  Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука», М.,1971.
2. Математика XIX века, «Наука», М., 1981
3. Егоров И. П. «Основания геометрии», М., «Просвещение», 1984.
4. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка», М., 1993
5. Свечников А.А. Путешествие в историю математики или как люди научились считать. - М.: Просвещение, 1995.
6. Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г.
7. http://www.edu.ru
8. http://www.allbest.ru
9. http:// nplit.ru «nplit.ru: Библиотека юного исследователя».