Логика

                                Задание № 1

 

Дана некоторая формула  языка логики высказываний:

((p ^ q) ¬ ((p ≠ ¬ q) (q ^ ¬ z))) ≡ (q r)

 

Выписываем все варианты отношений между пропозициональными переменными. Число вариантов (строк  в таблице) определяется по формуле x = 2 в степени n, где n – число пропозициональных переменных, т.е. букв латинского алфавита, каждая из которых выражает простое высказывание. Если букв 2, то число строк по формуле 4, если букв 3, то число строк 8, если букв 4, то число 16 и т.д. В данной формуле 3 пропозициональные переменные, следовательно в ней 8 строк.

 

1. В данной формуле 3 пропозициональные переменные, следовательно в ней 8 строк.

p q r ((p ^ q)   ¬ ((p ≠ ¬ q) v (q ^ ¬ r))) ≡ (q   r)

 

и  и  и

и  и  л

и  л  и

и  л  л

л  и  и

л  и  л

л  л  и

л  л  л

 

2. Подставляем под каждой переменной её значения:

((p ^ q)   ¬ ((p ≠ ¬ q) v (q ^ ¬ r))) ≡ (q   r)

 

и  и     и  и     и  и     и и

и  и     и  и     и  л     и л

и  л     и  л     л  и     л и

и  л     и  л     л л     л л

л  и     л и     и и     и и

л  и     л  и     и л     и л

л  л     л  л     л и     л и

л  л     л  л     л л     л л

 

3. Решаем отрицание пропозициональных переменных. В данной формуле есть два таких отрицания:

 

((p ^ q)   ¬ ((p ≠ ¬ q) v (q ^ ¬ r)))  ≡ (q   r)

 

и  и     и  л и     и   л и     и   и

и  и     и  л и     и   и л     и   л

и  л     и  и л     л   л и     л   и

и  л     и  и л     л   и л     л   л

л  и     л   л и     и   л и     и  и

л  и     л   л и     и   и л     и  л

л  л     л   и л     л   л и      л и

л  л     л   и л     л   и л     л л

 

4. Решаем первые внутренние скобки:

((p ^ q)   ¬ ((p ≠ ¬ q)   (q ^ ¬ r))) ≡ (q   r)

 

и  и     и  и  л и    и л  л и    л  и

и  и     и  и  л и    и и  и л    и  л

и  л     и  л  и л    л л   л  и    л и

и  л     и  л  и л    л л   и  л    л  л

л  и     л  л  л  и   и л   л и    и  и

л  и     л  л  л  и   и и   и л    и  л

л  л     л  и  и  л   л л   л и    л  и

л  л     л  и  и  л   л л   и л    л  л

 

5. Решаем вторые внутренние скобки:

((p ^ q)   ¬ ((p ≠ ¬ q)    (q ^ ¬ r))) ≡ (q   r)

 

и и и     и  и л и  и  и л л и     и  и

и и и     и  и л и  и  и и и л     и  л

и л л     и  л и л  и  л л л и      л  и

и л л     и  л и л  л  л л и л      л  л

л л и     л  л л и  л  и л л и      и  и

л л и     л  л л и  и  и и и л      и л

л л л     л  и и л  и  л л л и      л  и

л л л     л  и и л  и  л л и л      л  л

 

6. Решаем внешнее отрицание вторых внутренних скобок:

((p ^ q)   ¬ ((p ≠ ¬ q)   (q ^ ¬ r))) ≡ (q   r)

 

и и и   л  и  и л и  и  и л л и    и и

и и и   л  и  и л и  и  и и и л    и л

и л л   и  и  л и л  л  л л л и    л и

и л л   и  и  л и л  л  л л и л   л л

л л и   и  л  л л и  л  и л л и   и и

л л и   л  л  л л и  и  и и и л    и л

л л л   л  л  и и л  и  л л л и    л и

л л л   л  л  и и л  и  л л и л    л л

 

7. Решаем внешние скобки:

((p ^ q)   ¬ ((p ≠ ¬ q)   (q ^ ¬ r))) ≡ (q   r)

 

 

и и и л л  и  и л и  и  и л  л и  и и и

и и и л л  и  и л и  и  и и  и л  и л л

и л л и и  и  л и л  л  л л   л и  л и и

и л л и и  и  л и л  л  л л  и л  л и л

л л и и и  л  л л и  л  и л  л и  и и и

л л и и л  л  л л и  и  и и  и л  и л л

л л л и л  л  и и л  и  л л  л и  л и и

л л л и л  л  и и л  и  л л  и л  л и л

 

8. Решаем результирующий столбец:

((p ^ q)   ¬ ((p ≠ ¬ q)   (q ^ ¬ r))) ≡ (q   r)

 

и и и л л  и  и л и и и л л и  л  и и и

и и и л л  и  и л и и и и и л и и л л

и л л и и  и  л и л л л л л и  и  л и и

и л л и и  и  л и л л л л и л  и  л и л

л л и и и  л  л л и л и л л и  и  и и и

л л и и л  л  л л и и и и и л  л  и л л

л л л и л  л  и и л и л л л и  и  л и и

л л л и л  л  и и л и л л и л  и  л и л

 

9. Делаем вывод:

Данная формула вида (А ≡ В) – эквиваленция т.к.

главный знак ≡

Данная формула –  нейтральная

 

 

                               Задание № 2

 

Нахождение логического  следования

 

Дано 4 высказывания при  помощи табличного метода требуется  ответить на следующие вопросы:

1. Следует ли четвёртое высказывание из первого, второго и третьего?
2. Следует ли третье высказывание из первого, второго и четвёртого?
3. Следует ли второе высказывание из первого, третьего и четвёртого?
4. Следует ли первое высказывание из четвёртого, третьего и второго?

 

                             Исходные данные

 

1. Если это преступление совершил Иванов, то он не знает место нахождения похищенных вещей.
2. Иванов знает, где находятся похищенные деньги, но не знает мест нахождения похищенных вещей.
3. Иванова видели на месте преступления примерно в то же время, когда было совершено преступление.
4. Следовательно, Иванов не совершал это преступление.

 

p q r l  (p   ¬ q)  (r ^ ¬ q)  (l   p) ¬ p

 

и и и и  и л л и  и  л л и  и  и и  л и

и и и л  и л л и  и л л и  л  и и  л и

и и л и  и л л и  л  л л и  и  и и  л и

и и л л  и л л и  л  л л и  л  и и  л и

и л и и  и и и л  и  и и л  и  и и  л и

и л и л  и и и л  и  и и л  л  и и  л и

и л л и  и и и л  л  л и л  и  и и  л и

и л л л  и и и л  л  л и л  л  и и  л и

л и и и  л и  л и  и л л и  и  л л  и л

л и и л  л и  л и  и л л и  л  и л  и л

л и л и  л и  л и  л л л и  и  л л  и л

л и л л  л и  л и  л л л и  л  и л  и л

л л и и  л и  и л  и и и л  и  л л  и л

л л и л  л и  и л  и и и л  л  и л  и л

л л л и  л и  и л  л л и л и и л и л

л л л л  л и  и л  л л и л  л  и л  и л

 

Формула логически следует  из группы других формул, если в сводной  таблице отсутствует строка, в  которой каждая из формул группы принимает  значение “истина”, а данная формула принимает значение “ложь”.

Если же такая строка есть, то ф-ла не следует.

 

Относительно ф-лы № 4 мы ищем строку, в которой ф-ла № 4 принимает значениел “л”, а ф-лы № 3, № 2, № 1 – “и”.

 

Относительно ф –  лы № 3 мы ищём строку, в которой ф  – ла № 3 принимает значение “л”, а ф – лы № 4, № 2, № 1 – “и”.

 

Относительно ф –  лы № 2 мы ищем строку, в которой ф  – ла № 2 принимает значение “л”, а ф – лы №4, № 3 и № 1 – “и”.

 

Относительно ф –  лы № 1 мы ищем строку, в которой ф  – ла № 1 принимает значение “л”, а ф – лы № 4, № 3 и № 2 – “и”.

 

В данном примере ф – ла № 4 не следует, т.к. имеются некоторые строки: строки № 5, № 6

Ф – ла № 3 не следует  из ф – лы № 4, № 3, №1, т.к. имеется  искомая строка № 13 и № 16

Ф – ла № 2 не следует  из ф – лы № 4, № 3, № 1.

Ф – ла №1 следует из  формул №4, №3, 2, т.к. искомой строки нет.

 

 

                                     Задание № 3

 

Исходно задание:

1. Если подсудимый виновен, то у него был сообщник.
2. Подсудимый виновен, но у него не было сообщника.
3. у подсудимого был сообщник.

 

Алгоритм решения:

А) Выделяем простые суждения и формализуем их:

 а) подсудимый виновен  – обозначим его пропозициональной  переменноё “p”

 в) у подсудимого  был сообщник “q”

В) Составляем ф-лы сложения суждений:

1) (h   q) 2) (p ^ ¬ q) 3) q

C) Строим сводную таблицу истинности:

 

p q  (p   q)  (p ^ ¬ q)  q

и и   и и и   и л л и   и

и л   и л л   и и и л   л

л и   л и л   л л л и   и

л л   л и л   л л и л   л

 

Д) Сравниваем формулы  друг с другом

 

1-ая и 2-ая формулы находятся в отношении противоречия (котрадикторности), т.к. отсутствует строка, в которой они принимают значение “истина”, и отсутствует строка, в которой они обе принимают значение “ложь”.

1-ая и 3-ая формулы  находятся в отношении эквиваленции, т.к. отсутствует 2-е строки (строка  в которой одна ф-ла – “и”, а другая “л”, а также строка, в которой одна “л”, другая “и”.

2-ая и 3-я формулы  находятся в отношении противоположности  (контрарности), т.к. отсутствует  строка, где обе формулы принимают  значение “истина”.

 

                           Задание № 4

 

Является ли правильным следующий силлогизм, если нет, то какие правила фигур или общие правила в них нарушены? Проиллюстрируйте необходимость следования заключения из посылок (или отсутствие такой необходимости), вычерчивая соотношение между терминами силлогизма в виде круговых схем.

 

“Все металлы – кристаллические вещества, поскольку ни одно кристаллическое” вещество не является пластичным и ни один метал не пластичен”

 

Ни одно кристаллическое  вещество не является пластичным.

Ни один металл не пластичен.

Все металлы – кристаллические  в-ва?

 

Рассмотрите посылки  и термины данного силлогизма.

1. “Ни одно кристаллическое в-во не является пластичным”

Данная посылка (большая) является общеотрицательным суждением, в котором и субъект, и предикат распределены, т.к. они взяты в  полном объёме: класс всех кристаллических в-в (для распределённого термина характерно кванторное слово “ни один”) полностью исключается из класса всех пластичных в-в.

Ни одно  М ни есть P

 

М    Р

 

2. Вторая посылка (меньшая) так же является общеотрицательным суждением “Ни один металл не пластичен”
3. Ни одно S не есть P

 

S    P

 

Из правил посылок следует: из двух отрицательны посылок нельзя сделать заключение, т.к. хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением. Отсюда следует, что в данном силлогизме нельзя сделать заключение (правило посылок нарушено).

Так же нужно отметить, что малая  посылка ложная, т.к. все металлы  пластичны.

 

Р

     S

 

2) Нарушено правило силлогизмов,  что если одна из посылок  отрицательное суждение, то и  заключение должно должно быть отрицательным, а в данном силлогизме заключение утвердительное: “Все маеталлы кристаллические в-ва”

 

Можно сделать вывод – силлогизм  не правильный, т.к. нарушены правила  посылок, а заключение сделать невозможно (не следует).

Металлы пластичны, поэтому металлы  не еть кристаллические в-ва

1)  М   Р     2) P                  3) P

                              S                     S         M