Задания по "Финансовой математике"

 Задание 1

 

Приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов):

Т	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	41	52	62	40	44	56	68	41	47	60	71	44	52	64	77	47

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

-    случайности  остаточной компоненты по критерию  пиков;

-   независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения остаточной  компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса:

                    

где k – период упреждения;

- расчетное значение экономического  показателя для t-го периода;

, , - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

- значение коэффициента сезонности  того периода, для которого  рассчитывается экономический показатель;

L – период сезонности (для квартальных данных L = 4).

Уточнение параметров модели производится с помощью формул корректировки:

                      

 

                        

                              

Для расчета и необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е для t=1-1=0).

Для оценки начальных значений и применим линейную модель к первым восьми значениям заданного временного ряда .

Линейная модель имеет вид:

.                                      

Оценим коэффициенты линейной модели и с помощью метода наименьших квадратов:

 

		t2	t·Y(t)
1	41	1	41	47,750
2	52	4	104	48,536
3	62	9	186	49,321
4	40	16	160	50,107
5	44	25	220	50,893
6	56	36	336	51,679
7	68	49	476	52,464
8	41	64	328	53,250
∑ 36	404	204	1851	404,0

 

Линейная модель с  учетом полученных коэффициентов:

Находим расчетные значения :

Делим первые 8 значений признака на их расчетные значения:

 

Для нахождения начальных  оценок индекса сезонности найденные  значения усредняем по одноименным кварталам:

Применяем формулы корректировки  параметров:

Значения параметров сглаживания по условию составляют:

Модель Хольта-Уинтерса

Год	Квартал
0	1	-	-	-	-	-	0,8616
0	2	-	-	-	-	-	1,0775
0	3	-	-	-	-	-	1,2766
0	4	0	-	-	46,964	0,786	0,7841
1	1	1	41	41,141	47,701	0,771	0,8604
1	2	2	52	52,228	48,408	0,752	1,0755
1	3	3	62	62,757	48,982	0,698	1,2701
1	4	4	40	38,956	50,080	0,818	0,7929
2	1	5	44	43,791	50,971	0,840	0,8621
2	2	6	56	55,724	51,889	0,863	1,0777
2	3	7	68	67,000	52,988	0,934	1,2780
2	4	8	41	42,754	53,259	0,735	0,7790
3	1	9	47	46,547	54,151	0,782	0,8656
3	2	10	60	59,205	55,155	0,849	1,0838
3	3	11	71	71,574	55,869	0,808	1,2737
3	4	12	44	44,155	56,618	0,790	0,7779
4	1	13	52	49,692	58,208	1,030	0,8822
4	2	14	64	64,203	59,182	1,014	1,0824
4	3	15	77	76,672	60,273	1,037	1,2760
4	4	16	47	47,693	61,043	0,957	0,7731
5	1	17	-	54,698	-	-	-
5	2	18	-	68,141	-	-	-
5	3	19	-	81,552	-	-	-
5	4	20	-	50,152	-	-	-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На последнем шаге получили следующую  модель:

Оценим точность модели:

 

					Точки поворота
1	41	41,141	-0,141	0,003	-	0,020	-	-
2	52	52,228	-0,228	0,004	0	0,052	0,008	0,032
3	62	62,757	-0,757	0,012	1	0,573	0,280	0,173
4	40	38,956	1,044	0,026	1	1,091	3,246	-0,791
5	44	43,791	0,209	0,005	1	0,044	0,698	0,218
6	56	55,724	0,276	0,005	0	0,076	0,004	0,058
7	68	67,000	1,000	0,015	1	1,000	0,525	0,275
8	41	42,754	-1,754	0,043	1	3,076	7,584	-1,754
9	47	46,547	0,453	0,010	0	0,205	4,871	-0,795
10	60	59,205	0,795	0,013	1	0,632	0,117	0,360
11	71	71,574	-0,574	0,008	1	0,330	1,875	-0,457
12	44	44,155	-0,155	0,004	0	0,024	0,176	0,089
13	52	49,692	2,308	0,044	1	5,325	6,062	-0,357
14	64	64,203	-0,203	0,003	1	0,041	6,304	-0,469
15	77	76,672	0,328	0,004	1	0,108	0,282	-0,067
16	47	47,693	-0,693	0,015	-	0,481	1,043	-0,227
Итого	866	864,093	1,907	0,214	10	13,078	33,074	-3,710

 

Модель считается точной.

Оценим адекватность модели.

1) Случайность колебаний значений  остатков.

 Þ не является поворотной;

 Þ является поворотной;

 Þ является поворотной;

 Þ является поворотной;

 Þ не является поворотной;

 Þ является поворотной;

 Þ является поворотной;

 Þ не является поворотной;

 Þ является поворотной;

 Þ является поворотной;

 Þ не является поворотной;

 Þ является поворотной;

 Þ является поворотной;

 Þ является поворотной.

m = 10

10 > 6  Þ  свойство выполняется.

2) Отсутствие автокорреляции  в ряду остатков (уровни остатков  должны быть независимыми):

По критерию Дарбина-Уотсона (d₁ = 1,1; d₂ = 1,37):

, значит рассчитываем  :

, значит уровни ряда остатков являются независимыми.

По первому коэффициенту автокорреляции (r_табл = 0,32):

 < r_табл, значит уровни являются независимыми.

3) Подчинение остатков  нормальному закону распределения.

- СКО. 

= 2,308

= -1,754

4,349 не входит в интервал от 3 до 4,21, значит, уровни ряда не подчиняются  нормальному распределению.

Прогноз на 4 шага вперед (т.е. на 1 год):

Задание 2

 

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения  цен;

- индекс относительной  силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	650	618	645
2	680	630	632
3	657	627	657
4	687	650	654
5	690	660	689
6	739	685	725
7	725	695	715
8	780	723	780
9	858	814	845
10	872	840	871