Задачи по "Высшей математике"

1) Решить систему уравнений методами Гаусса и Крамера, сравнить ответы.

Решение

Метод Гаусса

     В данной системе уравнений примем уравнение (1), как ведущее и умножим  его на -2, а уравнение 3 умножим  на 2. Затем уравнения (2) и (3) сложим с  уравнением (1).

     Таким образом, получаем:

Метод Крамера

     Запишем развернутую матрицу системы  уравнений:

     Записываем  матрицу коэффициентов и находим  ее определитель:

     Заменяя столбцы матрицы коэффициентов  последовательно столбцом свободных  членов, записываем получившиеся матрицы  и находим их определители:

;  ;

     По  формулам Крамера находим:

     Ответы  совпадают:

_{2) Вычислить}

_{Решение}

 

_{Решение}

 

 

_{3)Для  заданной матрицы  найти обратную  матрицу:}

_{Решение}

_{Находим определитель матрицы А:}

_{Транспонируем матрицу А:}

Находим миноры элементов матрицы А^Т:

Записываем матрицу  миноров:

_{Записываем  матрицу алгебраических дополнений:}

Записываем обратную матрицу по формуле:

 

 

_{4)Найти пределы функции, не используя правила Лопиталя:}

а)

Решение

 

б)

Решение

 

      Так как получается неопределенность, умножим  числитель и знаменатель на сопряженное  знаменателю выражение: 

 

в)

Использовались  формулы: ;

5)Найти неопределенные интегралы:

Подынтегральная дробь неправильная. Разделим числитель  на знаменатель:

Тогда: