Задачи по "Высшей математике"

Задание

 

  Даны векторы ; ; ; в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

 

Решение.

Для того, чтобы показать, что векторы образуют базис, составим из

координат этих векторов матрицу и  найдем ее ранг.

~ ~ ~ ~ ~

 

Ранг матрицы  r(A)=3.

Так как ранг системы из трёх векторов равен 3, то система линейно независима. В  трёхмерном пространстве любые три  линейно независимых вектора  образуют базис, следовательно, - базис.

Найдем координаты вектора  в базисе .

Пусть вектор в базисе имеет координаты k₁, k₂, k₃. Это значит, что

Так как  , , , то с одной стороны вектор имеет координаты , с другой стороны . Если от векторного равенства перейти к равенству координат, то получим систему линейных уравнений:

~ ~ ~ ~

k₁+4 k₂+3 k₃=7

k₂+4 k₃=5

 k₃=1

Решив систему линейных уравнений, получили, что k₁=0, k₂=1, k₃=1.

Таким образом, координаты вектора в заданном базисе .

 

 

Задание

 

  Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

1) Найти длину ребра А₁А₂;

2) Найти угол между ребрами  А₁А₂ и А₁А₄;

3) Найти площадь грани А₁А₂А₃;

4) Найти объем пирамиды;

5) Написать уравнение прямой  А₁А₂,  если А₁(4;6;5), А₂(6;9;4), А₃(2;10;10), А₄(7;5;9).

 

Решение.

1) Найдём длину ребра А₁А_2.

 

 

2) Найдем угол между ребрами  А₁А₂ и А₁А₄.

Чтобы найти угол  - найдем косинус  угла между векторами    и

,

 

3) Найдем площадь грани А₁А₂А₃.

Площадь треугольника построенного на векторах и равна:

, где 

 и 

 

4) Найдем объем пирамиды.

 

 

 

 

5) Написать уравнение прямой  А₁А₂,  если А₁(4;6;5), А₂(6;9;4), А₃(2;10;10).

Возьмём за начальную точку А₁(4;6;5)

                 за направляющий вектор  .

Уравнение прямой А₁А₂  будет иметь вид 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание

 

  Дана   система линейных уравнений.

 Доказать её совместимость  и решить двумя способами:

1) методом Гаусса;

2) средствами матричного исчисления.

 

Решение.

1) Докажем совместимость системы. Для этого  вычислим определитель.

 

 

Система совместна и имеет единственное решение.

2) Решим систему уравнений  методом Гаусса.

~ ~ ~ ~ ~

~

3) Решим систему средствами матричного  исчисления.

В матричной форме система уравнений  будет иметь вид  , где

                      

Для решения найдём матрицу обратную для матрицы А.

Найдём алгебраические дополнения:

Ответ: , ,

Задание

 

  Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.

а)

б)

в)

с)

 

 

 

Решение.

а)

 

б)

 

в)

 

с)

 

 

 

 

 

 

Задание

 

  Найти производные данных функций:

а)

б)

в)

г)

 

Решение.

а)

 

 

б)

 

в)

 

г)

 

 

 

 

 

 

Задание

 

  Вычислить предел , применяя правило Лопиталя.

 

Решение.