Задачи по "Математике"

Задание 1. Найти интеграл:  
Ответ:

Задание 2. Найти интеграл:

Ответ: Используем метод замены переменной

Задание 3 Найти интеграл:

Ответ: Решаем методом интегрирования по частям:

Получаем:  

Задание 4.

Ответ:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х

 

Задание 5

Ответ:  

Задание 6. Вычислить интеграл: (рекомендуется подстановка )

Ответ:

Положим . Тогда t_н =4; t_в=1 имеем

 

Задание 7. Найти решение уравнения:

Ответ: У нас дифференциальное уравнение первого порядка с разделенными переменными, интегрируем его

  

Задание 8. Найти решения уравнения:

Ответ: , . Положим , тогда .   Имеем:

             

Выберем функцию  v так, чтобы выражение в скобках левой части последнего равенства обращалось в ноль.   

 Разделим переменные:

Интегрируем:          (С=0)

Интегрируем:

      Общее решение данного уравнения 
 

Задание 9. Найти интеграл уравнения:

Ответ: имеем однородное уравнение. Делаем замену , тогда

  ;         

Преобразуем правую часть уравнения.

При использовании  замены, данное уравнение примет вид:

Разделяя переменные, будем иметь:

Интегрируя, находим

Подставляя  , получим общий интеграл исходного уравнения   

Задание 10. Найти общее решение уравнения:

Ответ:

- линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое  уравнение:          

Так как первая часть данного неоднородного  уравнения имеет вид 

m=0 является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в форме

       

Подставляя эти  выражения в заданное  уравнение, будем иметь

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:

     =>     Следовательно  

Общее решение: