Задачи по "Финансовой математике"

а) кредиты  на такие сроки предоставляются  исходя из расчетной ставки 10% годовых, а для исчисления стоимости кредита используется формула простых процентов;

б) для кредитов на любые сроки используется годовая  эффективная ставка – 10%?

 

Решение

а) S=2000000*(l+0,1*4/12)=2066666,66 руб.

б) S=2000000*(l+0,1)^4/12=2064560,23 руб.

Ответ:

а) 2066666 р. 66коп.;

б) 2064560руб. 23коп.

Задача №10.

Какие суммы  в задаче 9 должен ежемесячно отдавать заемщик кредитору, если бы погашение  кредита предусматривалось четырьмя равными суммами – соответственно через 1 месяц, 2, 3 и 4 месяца, если:

а) расчетная  ставка остается такой же, и для соизмерения денежных сумм во времени используется формула простых процентов;

б) годовая  эффективная ставка остается такой  же, и для соизмерения денежных сумм во времени используется формула  сложных процентов?

 

Решение

а)

б)

Ответ:

а) Заемщик должен отдавать ежемесячно 510459 руб. 90коп.;

б) Заемщик  должен отдавать ежемесячно 510007руб. 30 коп.

 

Задача №11.

Какую сумму  в условиях задачи 9 получил бы на руки заемщик, если бы кредитор взял с него проценты в момент выдачи кредита?

 

Решение

а) Сумма процентов за 4 месяца при расчетной ставке 10% годовых и использовании формулы простых процентов составит:

I = Pni= 2000000 *

* 0,1 = 66666,67 руб.

Тогда сумма  полученная заемщиком равна:

P-I= 2000000 – 66666,67 = 1933333,33 руб.

б) В случае, если используется годовая эффективная ставка - 10%

I – P ((1 + i)ⁿ -1) = 2000000 * ((l + 0,l)^4/12 -1) = 64560,23 руб.

Тогда сумма  полученная заемщиком:

P-I = 2000000-64560,23 =1935439,77руб.

Ответ: 

а) Заемщик получит 1933333,33 руб.;

б) Заемщик получит 1935439,77руб.

Задача №12.

График погашения  кредита предполагал ежемесячную  выплату заемщиком 1 млн. руб. в течение 8 месяцев (1-й платеж - через месяц  после получения кредита, второй - через 2 месяца и т.д.). Заемщик оказался не в состоянии выплачивать ежемесячно такую сумму и договорился с кредитором о реструктуризации долга - выплате в течение более длительного срока ежемесячно по 0,5 млн. руб. Как долго заемщик будет погашать свой долг, если его новые обязательства финансово эквивалентны первоначальным, а для соизмерения денежных сумм во времени используется годовая эффективная ставка 30%?

 

Решение

Найдем текущую  стоимость долга:

Новая сумма аннуитетного платежа 500000 руб.

Текущая стоимость долга эквивалентна:

Получаем:

Находим из данного  выражения t:

t = 18

Ответ: заемщик будет погашать свой долг в течение 18 месяцев или 1,5 лет.

Задача №13

Кредиты на 3 месяца выдаются исходя из расчетной ставки 20% годовых. Исходя из какой расчетной ставки должны выдаваться кредиты на 9 месяцев, чтобы годовая эффективная ставка процента по таким кредитам была такой же, как и по кредитам на 3 месяца?

 

Решение

Находим годовую эффективную ставку для кредита на 3 месяца:

С учетом годовой эффективной  ставки 21,55% находим процентную ставку для кредита на 9 месяцев:

Ответ: для кредита на 9 мес. процентная ставка равна 21,02%

Задача №14.

Фирме X была предоставлена кредитная линия на 1 млн. рублей – в течение 8 месяцев по 1-м числам она брала в банке по 125 тыс. руб. Погашение долга предусматривалось единовременным платежом ровно через 4 месяца после получения последних 125 тысяч. Сколько должна вернуть фирма банку, если для соизмерения денежных сумм во времени используется годовая эффективная ставка 15%?

 

Решение

Возврат долга будет  осуществляться через 11 месяцев после  получения первой суммы.

Найдем наращенную сумму:

=143,303+141,534+139,787+138,061+136,356+134,673+133,01+131,368=1098,092

Ответ: фирма X должна вернуть 1098,092 тыс. руб.

 

 

 

Задача №15.

Единовременно полученный кредит сроком на 5 лет погашался  в течение этого срока ежемесячно равными суммами. Для соизмерения  денежных сумм во времени использовалась годовая эффективная ставка R. После совершения последнего, 60-го платежа, заемщик обнаружил, что в сумме он заплатил банку ровно в 2 раза больше, чем брал у него взаймы. Каково было значение годовой эффективной ставки?

 

Решение

Сумма ежемесячного погашения равна А. Тогда за 60 месяцев общая сумма выплат составила 60А. Заемщик брал у банка взаймы сумму Р.

В сумме он заплатил банку  ровно в 2 раза больше, чем брал у  него взаймы, т.е. 2Р.

Таким образом:

60А=2Р

Р=30А

Формула расчета аннуитетного платежа выглядит следующим образом:

Подставим известные значения:

Решим полученное уравнение:

R=31,57%

Ответ: Годовая эффективная ставка равна 31,57%

 

Задача №16.

Облигации внутреннего  выигрышного займа выпущены на следующих  условиях. Всего облигаций 10 млн. штук, срок погашения – через 5 лет. Ежегодно в конце каждого календарного квартала проводится тираж, в результате которого 10000 облигаций выигрывают. Выигравшие облигации в дальнейших тиражах не участвуют. Определите вероятность выигрыша в первых четырех тиражах хотя бы одной из облигаций для человека, купившего 10 облигаций.

 

Решение

Определим вероятность  выигрыша по облигациям всего займа:

Вероятность выиграть в 1 тираже:

Вероятность выиграть во 2 тираже:

Вероятность выиграть в 3 тираже:

Вероятность выиграть в 4 тираже:

Таким образом, вероятность  выигрыша одной облигации в первых четырех тиражах равна:

p_1-4=p₁+p₂+p₃+p₄=10^-3+1,001*10^-3+1,002*10^-3+1,003*10^-3=4,006*10^-2

Для человека, купившего 10 облигаций вероятность выигрыша одной облигации, в первых четырех  тиражах увеличивается в 10 раз  и равна:

Р = p_1-4*10 = 4,006*10^-3* 10 = 4,006*10^-2=0,04006=4,006%

Ответ: вероятность выигрыша равна 4,006%

 

Задача №17.

На фондовом рынке обращаются чисто дисконтные облигации номиналом в 1 млн. руб. В настоящий момент времени их рыночная цена составляет 950 тыс. руб. Сколько  времени осталось до их погашения, если вложения в эти облигации обеспечивают такую же доходность как и обычные кредитные операции, годовая эффективная ставка для которых составляет 20%?

 

Решение

Доходность облигации  вычисляется по формуле:

где Р_покуп – рыночная цена облигаций;

Р_прод – номинал облигации;

Т – срок до погашения облигаций.

Отсюда определим Т:

Ответ: до погашения облигаций осталось 96 дней.

Задача №18.

С каким дисконтом  банк должен учесть вексель, срок погашения  которого – через 3 месяца, чтобы доходность этой операции была такой же, как при выдаче кредита на такой же срок исходя из расчетной ставки 24% годовых?

 

Решение

Ставка дисконта, эквивалентная учетной ставке находится  по формуле:

где d - учетная ставка;

i - ставка ссудного процента;

n - срок в годах.

Ответ: вексель будет учтен с дисконтом 22,6%

 

 

Задача №19.

Рассчитайте формальную рыночную стоимость акций, по которым  ежегодно выплачиваются дивиденды  в размере 50 руб. на одну акцию. Годовая эффективная ставка процента составляет 10%. Цену рассчитать на момент, когда до получения очередного дивиденда остается ровно полгода.

 

Решение

Цена акции  с фиксированным доходом равна  настоящей стоимости будущих дивидендов и определяется по формуле:

Ответ: рыночная стоимость акции 500руб.

 

Задача  №20.

 Снижение ставки процента на денежном рынке ведет к росту рыночной стоимости ценных бумаг. Пусть в какой-то момент времени рыночные стоимости акции X, краткосрочного векселя Y и среднесрочной дисконтной облигации Z одинаковы. У какой из этих бумаг при снижении ставки процента на денежном рынке рыночная стоимость увеличится в наибольшей степени, у какой – в наименьшей? Объясните, почему. Задачу решить в предположении, что рыночная стоимость акции определяется только величиной получаемых дивидендов. 

 

Решение

Чем меньше срок обращения ценной бумаги, тем в  меньшей степени ее рыночная цена зависит от ставки процента, т.к. меньше периодов дисконтирования. Поэтому в большей степени снижении ставки процента повлияет на стоимость акции X, т.к. ее обращение бессрочно, а в меньшей на стоимость краткосрочного векселя Y.

 

Задача №21.

Номинальная годовая  ставка процента на денежном рынке  составляет 24%. Чему равна реальная ставка процента, если рост среднего уровня цен за год составляет: а) 10%; б) 20%; в) 30%? 

Решение

Реальная ставка процента находится по формуле:

а)

б)

в)

Ответ:

а) Реальный размер денежных средств возрос на 12,7 %

б) Реальный размер денежных средств возрос на 3,3 %

в) Реальный размер денежных средств снизился на 4,6 %

 

Задача №22.

Определите  с позиций формальной финансовой математики, при какой годовой  эффективной ставке процента по депозитам выгоднее покупать ежегодно туфли по цене 1000 руб., чем раз в три года - туфли по цене 2800 рублей. Внешний вид и потребительские свойства у них одинаковы, различается только срок службы.

 

Решение

Сопоставим денежные потоки во времени, приведем их к настоящему моменту:

раз в три года Р=2800

ежегодно  Р=

Выгоднее покупать ежегодно туфли по цене 1000 руб., чем раз  в три года - туфли по цене 2800 рублей при условии:

<2800

Таким образом, получаем:

i > 7,3%

Ответ: если годовая эффективная ставка процента по депозитам больше 7,3%

 

 

 

Задача № 23.

Молодая семья  арендует квартиру и платит за нее  ежемесячно 3000 руб. Текущие доходы семьи  позволяют ежемесячно откладывать 8000 рублей (остальные деньги уходят на неотложные нужды и хозяину). Есть мечта приобрести собственную квартиру стоимостью 400000 руб. Предположив, что деньги накапливаются в наличной форме, определите, целесообразно ли для ускорения решения проблемы прибегнуть к банковскому кредиту, который на любые сроки выдается из расчета годовой эффективной ставки 12%, и если целесообразно, то когда (после накопления какой суммы собственных средств) это лучше всего сделать? После покупки квартиры можно будет отдавать кредитору 11000 руб. ежемесячно.

 

Решение

Если семья возьмет кредит прямо сейчас, без накопления, то при ежемесячных выплатах 11000 руб. срок выплат будет равен:

Общая сумма выплат составит: 11000*45,4=499610 руб.

Если они будут копить 1 мес., а затем возьмут кредит, то их расходы за этот месяц составят 11000 руб. (3000 аренда и 8000 накопления) и сумма необходимого кредита составит 392000:

Общая сумма выплат составит: 11000+11000*44,3=498103 руб.

Таким образом, выгоднее сначала копить, так как при постоянных ежемесячных расходах 11000 руб. общая сумма выплат уменьшается.

Минимальное значение достигается  при сроке накопления 13 мес. накопленная  сумма 104000 руб., сумма кредита 296000.

Общая сумма выплат составит: 11000*13+11000*31,5=489534 руб.

Ответ: целесообразно прибегнуть к банковскому кредиту. Лучше это сделать после накопления средств в течении 13мес.