Задача по "Математике"

Задача № 40

 

Используя интерполяционный многочлен Ньютона, вычислить значение производной функции, заданной таблично, в указанной точке

 

X	6,4	6,5	6,6	6,7	6,8
Y	0,1991	0,3062	0,4232	0,5398	0,6472

    

Решение

 

Интерполяционный многочлен  Ньютона имеет вид:

Для составления этого  многочлена составим таблицу разностей: 

 

x	y	Dy	D2y	D3y	D4y
6.4	0.1991
		0.1071
6.5	0.3062		0.0099
		0.117		-0.0103
6.6	0.4232		-0.0004		0.0015
		0.1166		-0.0088
6.7	0.5398		-0.0092
		0.1074
6.8	0.6472

 

Значения  в таблице получали так, например для ∆y = 0.3062 – 0.1991 = 0.1071. ∆²y = 0.117  –  0.1071 = 0.0099. Аналогично получали остальные разности

Тогда для нашей задачи многочлен Ньютона имеет вид:

 

После выполнения преобразований получим  интерполяционный многочлен вида:

 

P(x) = 0,625∙x⁴-18,0916∙x³ + 194,83875∙x² –  925,20853∙x+1634,9847

 

Продифференцируем этот многочлен и получим

 

P^′(x) = 2,5x³ – 54,275x² + 389,6775x – 925,208583

 

Найдем заданное значение

 

P^′(x) = 2,5∙6,4³ – 54,275∙6,4² + 389,6775∙6,4 – 925,208583 = 0.983417