Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Ноября 2011 в 16:13, контрольная работа
Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя: а) не менее двух станков; б) два станка; в) три станка.
Решение. Будем использовать правила сложения и умножения вероятностей.
б) Вероятность того, что в течение смены выйдут из строя два станка, равна:
в) Вероятность того, что в течение смены выйдут из строя три станка, равна:
а) Вероятность того, что в течение смены выйдут из строя не менее двух станков (два или три станка), равна:
По данным вариационного ряда определяем: Определим количество интервалов по формуле Стерджесса:
Поскольку необходимо разбить на интервалов, то длина каждого интервала равна:
За
начало первого интервала возьмем
. Исходные данные разбились на 9 интервалов.
Подсчитаем сколько значений СВ попадает
в каждый интервал, и результаты занесем
в таблицу, в результате получим интервальный
вариационный ряд.
| |
[5;
13) |
[13;
21) |
[21;
29) |
[29;
37) |
[37;
45) |
[45;
53) |
[53;
61) |
[61;
69) |
[69;
77) |
| Середина, |
9 | 17 | 25 | 33 | 41 | 49 | 57 | 65 | 73 |
|
Частота, |
3 | 7 | 12 | 15 | 27 | 16 | 13 | 6 | 1 |
| Отн.
част., |
0,03 | 0,07 | 0,12 | 0,15 | 0,27 | 0,16 | 0,13 | 0,06 | 0,01 |
| Плотность
отн. част. |
0,004 | 0,009 | 0,015 | 0,019 | 0,034 | 0,2 | 0,016 | 0,008 | 0,001 |
Построим
полигон частот:
25 m
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
17
33
49
65
81
x
Построим
гистограмму относительных
w
0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0
5 21 37 53 69 77 x
Найдём накопленные частоты и накопленные относительные частоты : Полученные результаты занесём в таблицу:
| Интервал | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 9 | 17 | 25 | 33 | 41 | 49 | 57 | 65 | 73 | |
| |
3 | 10 | 22 | 37 | 64 | 80 | 93 | 99 | 100 |
| 0,03 | 0,1 | 0,22 | 0,37 | 0,64 | 0,8 | 0,93 | 0,99 | 1 |
Тогда эмпирическая функция распределения будет иметь вид:
Построим график эмпирической функции распределения
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
5
21
37
53
69
x
Найдём числовые характеристики выборки. Вычислим выборочное среднее:
где –– середина полуинтервала Далее найдём выборочную дисперсию:
Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение:
Найдём исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение:
Найдём доверительный интервал для оценки математического ожидания a с надёжностью Из таблицы при n = 100 и находим, что Доверительные границы:
Итак, с надёжностью 0,95 неизвестный параметр a заключён в доверительном интервале 37,54 < a < 43,18.
Учитывая, что первый и последний интервалы имеют частоты меньшие 5, объединим их с соседними интервалами и сложим соответствующие частоты. В результате получим следующий вариационный ряд:
| № интервала | Границы интервала | Середина интервала | Частота |
| 1 | 5 – 21 | 13 | 10 |
| 2 | 21 – 29 | 25 | 12 |
| 3 | 29 – 37 | 33 | 15 |
| 4 | 37 – 45 | 41 | 27 |
| 5 | 45 – 53 | 49 | 16 |
| 6 | 53 – 61 | 57 | 13 |
| 7 | 61 – 77 | 69 | 7 |
| Сумма | 100 | ||
Пронормируем случайную величину , т.е. перейдём к случайной величине: и вычислим концы интервалов причём наименьшее значение полагают равным , а наибольшее – . Далее вычисляем теоретические вероятности попадания в интервалы : и, наконец, находим искомые теоретические частоты: Составим расчётную таблицу:
| 1 | 21 | -1,36 | -0,5 | -0,4131 | 0,0869 | 8,69 | ||
| 2 | 21 | 29 | -1,36 | -0,80 | -0,4131 | -0,2882 | 0,1249 | 12,49 |
| 3 | 29 | 37 | -0,80 | -0,24 | -0,2882 | -0,0949 | 0,1933 | 19,33 |
| 4 | 37 | 45 | -0,24 | 0,33 | -0,0949 | 0,1293 | 0,2242 | 22,42 |
| 5 | 45 | 53 | 0,33 | 0,89 | 0,1293 | 0,3133 | 0,184 | 18,4 |
| 6 | 53 | 61 | 0,89 | 1,45 | 0,3133 | 0,4265 | 0,1132 | 11,32 |
| 7 | 61 | 1,45 | 0,4265 | 0,5 | 0,0735 | 7,35 | ||
| 1 | 100 |