Вектора

1 Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке A ) называется противоположным вектору АВ . Вектор, противоположный вектору а , обозначается -а .

Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным  вектором и обозначается через e . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , называется ортом вектора a и обо значается a °.

Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a ||b .

Коллинеарные векторы  могут быть направлены одинаково  или противоположно.

Нулевой вектор считается  коллинеарным любому вектору.

Два вектор  а и b называются равными (а = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а  также умножение вектора на число

А)Пусть а и b — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ОА=а. От точки А отложим вектор АВ = b . Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов а и b : О B=а+b (см. рис. 2)

                

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.    а+b=b+а 
2.     (а +b) +с=а + (b +с),  
3.    λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а, 
4.      (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а, 
5.    λ • (а +b) =λ •а+λ •b.

2Скалярным произведением векторов   и   называется произведение их длин на косинус угла между ними: 

Основные свойства скалярного произведения векторов:  
1. a •b = b• a;  
2. (λa)•b= •(λb) = λ (a•b);  
3. a•(b+с) = a•b+a•с;  
4. a•b = | a | прa b = |b| прb| a |;  
5. a • a = | a |²;  
6. a • b = 0, если a ┴ b 

3) Векторным произведением вектора   на вектор   называется третий вектор   который обладает следующими свойствами:

Его длина  равна 

Вектор   перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора   и 

Вектор   направлен так, что поворот от вектора   к вектору   осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора   (в этом случае, говорят, что тройка векторов   и   – правая).

Свойства векторного произведения:

• векторное произведение произвольного вектора на нулевой вектор равно нулевому вектору;
• векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому вектору;
• координаты векторного произведения   векторов   и   следующие 

 

4) Смешанным произведением векторов  ,   и   называется число, равное скалярному произведению вектора   на вектор, равный векторному произведению векторов   и  .           

 Обозначается  или ( ,  , ).

Смешанное произведение  по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и  . 

1)Смешанное  произведение равно нулю, если:                       

 а)хоть один из векторов равен нулю;                       

 б)два из векторов коллинеарны;                       

 в)векторы компланарны.           

2)            

3)            

4)            

5) Объем  треугольной пирамиды, образованной  векторами  ,   и  , равен

           

6)Если  ,  , то

5) Любые два упорядоченные неколлинеарные вектора e₁ и e₂ образуют базис на плоскости.

Теорема: Любой вектор   на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде двух любых неколлинеарных векторов   и  :

Числа x и y называются координатами вектора. Векторы   и   называются базисом вектора   на плоскости.

6)-

7) Определение. Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.             

 Отметим,  что уравнение линии может  быть выражено параметрическим  способом, то есть каждая координата  каждой точки выражается через  некоторый независимый параметр t.            

 Характерный  пример – траектория движущейся  точки. В этом случае роль  параметра играет время.  

Уравнение прямой на плоскости.              

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.             

 В зависимости  от значений постоянных А,В  и С возможны следующие частные случаи:

-         C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

-         А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

-         В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

-         В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

-         А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох  

Уравнение прямой может быть представлено в различном  виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Расстояние  от точки до прямой.  

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

8 Рассмотрим произвольную точку   в пространстве и некоторый вектор   Очевидно, что геометрическим местом точек   таких, что вектор   перпендикулярен вектору   будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор   является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.

Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения: 

Запишем последнее  равенство в координатах: 

Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это  и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем  его к виду 

Обозначая   получим 

9Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М₁ и вектора  , параллельного этой прямой.

Вектор  , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть  прямая l проходит через точку М₁(x₁, y₁, z₁), лежащую на прямой параллельно вектору  .

Рассмотрим  произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что  .

Векторы   и   коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что  , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М₁ и М соответственно через   и  , получаем  . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это  уравнение в координатной форме. Заметим, что  ,   и   отсюда 

Полученные  уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении  параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

10Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ (называемыхфокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть