Трисекция угла
цель
- Целью данной работы является изучение всевозможных способов трисекции угла и применение их к составлению и решению задач
- Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.
Историческая справка
- Задача трисекции угла возникла в Древней Греции примерно в V веке до н.э. из потребностей архитектуры и строительной техники. Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла при помощи циркуля и линейки. В дальнейшем было также доказано, что угол вида a =p /2n, где n - N , можно разделить на три равные части. Р. Декарт высказал предположение о неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла при помощи циркуля и линейки без засечек.
- Это утверждение было доказано в 1837 году Ванцелем.
- Следствия, открытые в процессе решения задачи о трисекции угла.
- В 15 веке самаркандский ученый применил трисекцию угла к составлению весьма точных тригонометрических таблиц . В 16 веке французский математик Ф Виет на основе трисекции угла нашел тригонометрическое решение квадратного уравнения.
В работе рассмотрено
два способа построения трисектрисы
угла :
при помощи циркуля
и линейки без засечек
решение Гиппея при
помощи квадратриссы
Общее док-во трисекции
угла
- Так, деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 . Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол <MAN (Рис. 2). Откладываем на полупрямой произвольный отрезок , на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол CAB равен 60 то <BAM=30 . Построим биссектрису |AD| угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных угла <NAD,
<DAB, <BAM.
- Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в 90 \2, п – натуральное число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки.
Трисекция угла при
помощи линейки без засечек
- При изучении первого способа построения нами были самостоятельно решены следующие задачи:
- трисекция угла в 90 , 45 , 22,5 ,... a
=p /2n, где n- N (все эти углы образуют бесконечно малую геометрическую прогрессию со знаменателем q =1/2).
Трисекция угла при
помощи квадратрисы
- Сравнительный анализ различных способов построения представлен в таблице. Здесь под легкостью построения понимается использование вспомогательных средств, а коэффициент точности высчитывается.
Решение Гиппея при
помощи квадратриссы
- Рассмотрим квадрат ABCD , в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A'B' равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A'B' опишет квадратрису (выделена красным цветом).
*** Квадратриса — плоская
трансцендентная кривая, определяемая
кинематически. Открыта, по сообщению
Прокла Диадоха, софистом Гиппием
(V век до н. э.), использовалась
в античные времена для решения
задач квадратуры круга и трисекции
угла.
Док-во трисекции угла
при помощи квадратрисы
- Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть EAB — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:
- Находим точку F на квадратрисе и её ординату A'.
- Откладываем на отрезке AA' его третью часть; получим некоторую точку H.
- Находим на квадратрисе точку K с ординатой H.
- Проводим луч AK. Угол KAB — искомый.
- Доказательство данного алгоритма сразу следует из равномерности обоих движений, образующих квадратрису.
- Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей.
Сравнительный анализ
способов построения
трисектрисы угла.