Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Мая 2012 в 02:06, шпаргалка
Работа содержит ответы на вопросы для экзамена по "Математическому анализу".
1. Определение
понятия «система». Примеры систем.
Абстрактная формулировка Система в переводе с греч - нечто, состоящее из частей. Система – совокупность элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой и образующих целостную структуру. где S – set, R – relation, P – property, B – behavior. |
2. Классы систем, морфизмы, системы 1 и 2 рода. Конкретные системы (объекты реального мира). Естественные системы (живые, неживые, экологические и т. д.) Искусственные системы (экономические, социальные, технические и т. д.). Абстрактные системы (концептуальные, логические, математические). Морфизмы С понятием система связаны понятия гомоморфизм и изоморфизм. Гомоморфизм – внешнее подобие системы. Изоморфизм – внутреннее, структурное подобие. Системы 1 и 2 рода Система I рода – система, в которой наблюдатель находится снаружи самой системы и осуществляет наблюдение или управление. Система II рода – система, в которой наблюдатель находится внутри системы и является ее элементом. |
3. Дуализм (двойственность) понятия «система». Дисциплины, изучающие системы. Общая теория систем: история становления, персоналии. Дуализм (двойственность) понятия «система». Система может являться объектом исследования, мысленной моделью и или способом познания. Онтология изучает сущность реальных объектов или систем без отсылки к тому, как они познаются. Здесь главный вопрос – Что? Эпистемология изучает природу знания, его предпосылки и основа, а так же критерии истинности. Эпистемология рассматривает человека как часть рассматриваемой системы, а теорию, как эмерджентное свойство процессов взаимодействия элементов системы. Построение системы в эпистемологическом смысле – способ решения проблем. Дисциплины, изучающие системы. ТИ – теория информации ТУ – теория управления (кибернетика) ОТС – общая теория систем СА – системный анализ ТПР – теория принятия решений ОТС - междисциплинарная область исследования, посвященная изучению систем в целом, а именно, выявлению, исследованию и формализации общих закономерностей строения и функционирования систем различной природы, а так же вопросам управления ими. |
4. Системообразующие
признаки. Энтропия как мера организации. Относительная обособленность от окружающей среды Однако взаимодействие все же есть, т. е. нет изолированности. Наличие устойчивых связей и взаимодействий Эти связи теснее внутри, чем между элементами вне системы. Связи бывают материальные и нематериальные. Виды связей по функциям: - соединительные, ограничивающие; - прямые и обратные; -синхронные и несинхронные; -преобразующие и Связи и взаимодействия нередко обладают синергизмом (при взаимодействии объектов возникает совместный эффект). Наличие организации Наличие организации снижает энтропию. Энтропия - мера неопределённости, беспорядка, разнообразия, хаоса. Обозначается H. Негэнтропия – мера порядка, упорядоченности.
где N – кол-во возможных состояний систем, – вероятность того, что система находится в i-том состоянии, Две ситуации:
Если , то
Если , то . Если все pi равны, то подставим в формулу вместо его (в равновероятном случае не зависящее от i) значение :
Чем больше количество состояний (N), тем больше неопределенность (H). Выводы: Если система организована, то Если организация разрушается, то энтропия возрастает. Если система не организована, то . Целостность Потеря свойств при расширении системы. Делимость на
элементы, включая возможность Это позволяет системе легче воспроизводиться, восстанавливаться и сохранять функции. Ловушка редукционизма: 1)не расчленив систему, невозможно понять, как она устроена, 2)расчленив систему, нельзя полностью понять ее свойства. Подчиненность системы общей цели Системы можно разделить на: каузальные (причинно-следственные); телеологические (целенаправленные).
14. Энтропия и
информация. Использование энтропии
для оценки качества Энтропия и информация Основоположник теории информации Клод Шеннон определил информацию, как снятую неопределенность. Точнее сказать, получение информации – необходимое условие для снятия неопределенности. Неопределенность возникает в ситуации выбора. Задача, которая решается в ходе снятия неопределенности – уменьшение количества рассматриваемых вариантов (уменьшение разнообразия), и в итоге выбор одного соответствующего ситуации варианта из числа возможных. Снятие неопределенности дает возможность принимать обоснованные решения и действовать. В этом управляющая роль информации. Энтропия (H) – мера неопределенности, выраженная в битах. Так же энтропию можно рассматривать как меру равномерности распределения случайной величины. Использование энтропии для оценки качества управления Разнообразие, т. е. сложность управляющей системы, должно быть не меньше, чем разнообразие возмущений объекта. Чем большим разнообразием управления обладает управляющий орган, тем большее разнообразие возмущений он может компенсировать. Рассмотрим энтропийную формулировку данного закона. Пусть H(X) – энтропия без управления, H(X/Y) – энтропия с управлением, X – состояние управляемого объекта, Y – набор управляющих воздействий. Качество управления оценивается степенью энтропии (неопределенности) при управлении. Если управление идеально, то H(X/Y) = 0. Степень уменьшения неопределенности выражается количеством информации.
Чтобы обеспечить снижение неопределенности управления, система должна располагать достаточным разнообразием. Если исключить I из соотношения
Это неравенство выражает предельные возможности управления. С другой стороны система управления тоже неидеальна, т. е. она не может полностью использовать свои возможности. Из (1) и (2) вытекает: |
6. Граф как модель
организации (структуры) Организация проявляется в наличие структуры. Структура – устойчивая упорядоченность элементов и связей в пространстве и времени. Метод исследования структур - теория графов. Структура в свою очередь необходима для обеспечения функций: полезных и вредных; основных и побочных. 1)Линейная структура 2)Иерархическая структура 3)Матричная структура 4)Скелетно-каркасная структура 5)Смешанная структура 13. Принципы строения и функционирования систем. принцип автокаталитического роста Устойчивые конфигурации, способные воспроизводится, становятся многочисленными. принцип селективного удержания Устойчивые конфигурации остаются, неустойчивые элиминируются. принцип селективной вариации Чем больше разнообразие конфигураций возникает в системе, тем вероятнее, что хотя бы одна из них будет устойчивой и закрепится. принцип асимметричного перехода Переход из неустойчивого состояния в устойчивое возможен, а обратно – нет. принцип эмерджентности Целое может обладать неожиданными свойствами, не вытекающими из свойств частей. закон генезиса структуры В процессе коммуникации между элементами системы выявляются предпочтения, стимулы, реакции, рациональное поведение, что приводит к генезису системы. закон убывающей отдачи При увеличении какого-либо входа без изменения других, эффект на выходе (эффект отдачи) снижается. закон необходимого разнообразия (Эшби) Разнообразие, т. е. сложность управляющей системы, должно быть не меньше, чем разнообразие возмущений объекта. Чем большим разнообразием управления обладает управляющий орган, тем большее разнообразие возмущений он может компенсировать. принцип устойчивости Ле-Шатель Брауна–Самуэльсона (принцип флюгера) В пределах своего диапазона устойчивости система стремится занять такое положение, чтобы минимизировать эффект (влияние) внешнего возмущения. принцип взаимовлияния Среда влияет на систему, а система на среду. закон минимального усилия Система выбирает, что для нее выгоднее – адаптироваться или попытаться изменить среду, в которой она функционирует. принцип самоорганизации В любой изолированной, детерминированной системе, подчиняющейся неизменным законам, будут появляться элементы, адаптированные к среде обитания.
16. Производящая
функция системы. Понятия и
термины, используемые в Для
При малом приращении t
Предположим, что выражению однозначно соответствует функция ; . Функция называется производящей функцией системы. Переходная функция заранее неизвестна, однако, если известны законы движения, то они описываются в терминах производящей функции. – задача Коши для ОДУ Если множество T дискретно, то система ОДУ превращается в систему разностных уравнений: , где t+1 – индекс. В ТДС событием (фазой) называется пара , а декартово произведение называется пространством событий, где X – состояние, T – время, – траектория системы, – входное воздействие (управление). Основные виды динамических систем Стационарная система – ДС, которая не зависит (явно) от t.
Автономная система – ДС, в которой отсутствует внешнее воздействие ().
Периодическая система – ДС, которая зависит от t периодическое.
Линейная система – ДС, в которой f линейная по x.
Стохастическая система – ДС, в которой какие-то параметры являются случайными. |
7. Особенности
обмена систем с внешней В качестве внешних потоков (u, v) могут выступать импорт и экспорт, иммиграция и эмиграция. p - максимальный поток, который функционирует внутри системы.
Если , т.е. потоки входа и выхода меньше, чем потоки внутри системы, то система называется квази-закрытой. Если , то такая система называется квазизамкнутой.
10. Блочное и
операторное представление Блочное и операторное представление систем k – усилитель k > 1 k < 1 k = 0
фильтры
Последовательное и параллельное соединение блоков, контур обратной связ Последовательное соединение
, где Параллельное соединение
, где Контур обратной связи u – входной сигнал, v – выходной сигнал, W – оператор, – оператор обратной связи
– оператор замкнутой системы
15. Динамические системы, аксиоматика. Аксиомы переходной функции. ДС называется конструкция, образуемая совокупностью множеств и отображений T –упорядоченное множество моментов времени X – множество состояний системы, x вектор значений, который принимает система U – множество мгновенных значений входных величин - предыстория в этот период Множество и должно обладать свойством сочленения Y – множество мгновенных значений выходных величин - множество допустимых значений выходных величин
. – переходная функция системы – переходная функция, значения которой являются состояния системы, в которых она оказывается в момент времени t, если в начальный момент времени t0, она находилась в x(t0) и если на неё действовало входное воздействие .Свойство (аксиома) переходной функции: Переходная функция Выполняется аксиома причинно- Если на некотором отрезке эти сигналы совпадают, значит, переходные функции тоже совпадают. Переходная функция обладает полугрупповым (т. к. работает в одну сторону) свойством (транзитивности). 18. Понятие устойчивости,
виды устойчивости Критерий асимптотической устойчивости А.М. Ляпунова. Понятие устойчивости Термин «робастность» (robustness - англ.) образован от robust - крепкий, грубый (англ.). Имеется в виду, что робастные статистические процедуры должны "выдерживать" ошибки, которые теми или иными способами могут попадать в исходные данные или искажать предпосылки используемых вероятностно-статистических моделей. Термин «робастность» использовался фактически как сужение термина "устойчивый". Дан ряд: 3 4 3 3 5 2 4 3 Неустойчивое решение:Вычислим среднее арифметическое Устойчивое решение:Расположим в порядке возрастания 2 3 3 3 3 4 4 5 3 – это решение Виды устойчивости динамических систем Устойчивость по Лагранжу Траектория системы при возмущении остается (не выходит за пределы) конечной области. Устойчивость по Ляпунову
где – это решение
Если , решения нет. Если , решение есть. Решение при этом Система (1) называется устойчивой по Ляпунову. : Если , то Асимптотическая устойчивость Решение при этом Система называется асимптотически устойчивой, если она устойчива по Ляпунову и по Лагранжу. : Если , то Критерий асимптотической устойчивости А.М. Ляпунова. Для того чтобы проверить, является ли данное решение устойчивым, проводится линеаризация исходной системы в точке этого равновесия. Для простоты будем считать, что система автономна. Строим матрицу A. – линеаризованная система ; – след матрицы A; Ляпуновым доказано: Для того чтобы решение системы было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы A находились в левой полуплоскости. | ||||||||||||||||||
5. Качественные
и количественные Качественные характеристики Согласно ОТС все системы описываются в терминах состояний, входов-выходов, процессов, цепочек и петель прямой и обратной связи, равновесий, гомеостаза, открытости и закрытости. Количественные характеристики Размерность – кол-во элементов, подсистем, входов, выходов. Размерность не определяет сложность системы. Надо смотреть на связность. Связность k –количество связей, n- количество элементов
– насколько система связна. . Линейность и нелинейность Автономность и неавтономность Если система вообще не зависит от внешних факторов, то система автономна. Устойчивость и неустойчивость Устойчивость может быть структурной или динамической. Непрерывность и дискретность Система, которая имеет конечное число состояний, называется конечным автоматом. Наличие (отсутствие) источников стохастичности Тип структуры (наличие прямых и обратных связей) Если контуров обратной связи много, то она многоконтурная. Иногда не совсем очевидно, есть ли связи. Системы, в которых нет обратных связей, можно декомпозировать. Открытость и закрытость Разомкнутость и замкнутость
21. Стадии процесса управления. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость. Стадии процесса управления
Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость (x, u) – управляемая пара (x, y) – наблюдаемая пара
для управления важно A и B для наблюдения важно C где x – вектор состояния, y – вектор выхода, u – вектор входа, A – матрица системы, B – матрица входа, C – матрица управления, D – сквозная матрица Система называется полностью управляемой, если можно её перевести из одного (произвольного, фиксированного) состояния в другое. Система называется вполне наблюдаемой, если по наблюдаемости за её выходом можно определить состояние системы. Система называется идентифицируемой, если при наблюдении за объектом можно определить матрицу системы. 10. Блочное и
операторное представление Блочное и операторное представление систем
k – усилитель k > 1 k < 1 k = 0
фильтры
Последовательное и параллельное соединение блоков, контур обратной связ Последовательное соединение
, где
Параллельное соединение
, где
Контур обратной связи u – входной сигнал, v – выходной сигнал, W – оператор, – оператор обратной связи
– оператор замкнутой системы
Передаточные функции (операторы) Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее изображение с оригиналом . С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Прямое правило Лапласа
Обратное правило Лапласа
Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Представляет собой
Если преобразовать
17. Структура общего решения (переходной функции) линейной динамической системы. Линейная ДС имеет вид
Для такой системы можно построить в явном виде переходную функцию. Предположим , тогда * В ТДУ решением такого уравнения * является переходная матрица системы Чтобы эта матрица была переходной, она должна удовлетворять аксиомам переходных матриц. Можно проверить свойство транзитивности Давайте заменим на I единичная Если система стационарная, то , где Общий вид решения системы (1) Если система линейная, то её движение (решение, траектория) представляет собой сумму: первое слагаемое описывает свободное движение системы при ее отклонении от состояния равновесия. второе слагаемое характеризует добавочную компоненту, которая возникает в результате управления. Если система не зависит от , где Интеграл «свертка» Дёамеля | |||||||||||||||||||||||
8. Виды взаимодействий
между элементами активных Виды взаимодействий: Природно-экологические Экономические – результат взаимодействия и для системы i. – результат взаимодействия и для системы j. – объем продукции на рынке, – доходы, прибыль. Возьмем производные и по их знакам определим, как один элемент воздействует на другой.
20. Виды управлений. Существуют различные виды управлений в зависимости от целей системы и возможности управляющего органа: Стратегическое управление Оно является жестким, т. к. оно разрабатывается для разомкнутой системы, т. е. в отсутствии информации о будущем состоянии системы. Обычно разрабатывается несколько экзогенных сценариев исходя из горизонта планирования. , где T – горизонт планирования.
Эта система имеет ограничения. Ограничением является сама модель.
Наличие дисконта обеспечивает необходимость интегрирования и для . Управление по текущему состоянию (по рассогласованию и отклонению) Этот вид управления означает, что в систему включается еще дополнительно обратная связь. Иногда нужно учитывать запаздывание в цепях обратной связи. Оно может стать причиной нарушения работы системы. Управление с опережением (по предсказанию) По сути, мы получаем другую систему. Адаптивное управление Это означает, что есть и модель объекта, и модель системы управления. В этих системах управление – это отдельная подсистема, которая называется саморазвивающейся. , где – отдельная подсистема. 11. Виды обратных
связей. Пример статической и
динамической моделей с Виды обратных связей: Отрицательная обратная связь (ООС) имеет эффект ослабления, играет роль стабилизатора; Положительная обратная связь (ПОС) имеет эффект усиления, играет роль дестабилизатора. u – входной сигнал, v – выходной сигнал, W – оператор, – оператор обратной связи
– оператор замкнутой системы
для ООС для ПОС Статическая модель системы описывает ее состояние, а динамическая – поведение. Статическая модель (модель мультипликатора) Пример ПОС u – вход (конечный продукт), y – выход (кол-во того, что необходимо произвести). ,
– мультипликатор (множитель) Динамическая модель (модель акселератора) Пример ООС – производная по времени
ОДУ – обычное дифференциальное уравнение. Решим уравнение: или
– акселератор (если , то – ускоритель) – положение равновесия
| |||||||||||||||||||||||
9. Сложность систем,
признаки сложности, Способы преодоления сложности. Сложность систем Понятие сложности еще более абстрактно, чем понятие системы. Сложность – это не столько свойство объекта, сколько способ взаимодействия с ним наблюдателя. Признаки сложных систем сложность системы определяется количеством информации для описания этой системы Количество информации I и энтропия H характеризуют одну и ту же ситуацию, но с качественно противоположенных сторон. I – это количество информации, которое требуется для снятия неопределенности H. По определению Леона Бриллюэна информация есть отрицательная энтропия (негэнтропия). эмерджентность Эмерджентность – это возникновения в системе нового системного качества, несводимого к сумме качеств элементов системы.
имеют трудноопределимые границы составные нелинейные наличие обратных связей характерна локализация взаимодействия взаимодействуют только с соседями информация искажается неравновесные и открытые состоят из активных элементов, ни один из которых не определяет поведение системы широкий спектр временного масштаба Способы преодоления сложности Холизм – отказ от анализа источников сложности (т. е. отдельных элементов), целостное восприятие объекта; Редукционизм – дробление системы и анализ источников сложности.
12. Обратная связь
и механизм рыночного x – цена, D – спрос, S – предложение
Угол наклона зависит от эластичности спроса на товар.
Если спрос больше, чем предложение , то цена будет расти. Если предложение больше, чем спрос , то цена будет снижаться.
Именно наличие ООС обеспечивает устойчивость рынка без вмешательства государства, т. е. саморегулирующаяся система.
– этот коэффициент
связан с запаздыванием цен и
со скоростью реакции спроса и
предложения.Этот эффект отражает паутинно-образная
модель. У нас возникает эффект
запаздывания в обратной связи.
| |||||||||||||||||||||||