Счетные множества

     Теорема 7. Объединение счётного множества  попарно не пересекающихся конечных множеств есть счётное множество.

Доказательство: Пусть А_k (k=1, 2, 3, . . . ) суть попарно не пересекающихся конечных множеств:

А₁={

. . . , };

А₂={

. . . , };

А₃={

. . . , };

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 

     Для того чтобы расположить объединение  их С в форме последовательности, достаточно выписать подряд все элементы множества А₁, а затем элементы множества А₂ и так далее. 

     Теорема 8. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся счётных множеств есть счетное множество.

Доказательство: Пусть  множества А_k (k=1, 2, 3, . . .) попарно не пересекаются и счетные. Запишем эти множества следующим образом:

А₁={

. . . };

А₂={

. . . };

А₃={

. . . };

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

Если  мы выпишем элемент  , затем оба элемента и у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3, затем элементы у которых эта сумма равна 4, и так далее, то множество С= окажется представленной в форме последовательности:

С = {

. . . },

Откуда и следует счётность множества С. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

IV. Интересные примеры счетных множеств 

     Используя доказанные выше теорем можно привести другое доказательство теоремы 2 отличное от предыдущего. 

Доказательство  теоремы 2: Множество дробей вида с данным знаменателем q, то есть множество . . . , очевидно счётное. Но знаменатель может принять также

счётное множество натуральных значений 1, 2, 3, . . .  . Значит в силу теоремы 8, множество дробей вида является счётным множеством; удаляя из него все сократимые дроби и применяя теорему 4, убеждаемся в счётности  множества всех положительных рациональных чисел R₊. Так как множество R_- отрицательных рациональных чисел очевидно эквивалентно множеству R₊, то счетным является  и оно, а тогда счётно и множество R, ибо R= R₊ R_- {0}.

Из теоремы 2 вытекает следующие очевидное следствие.

Следствие. Множество рациональных чисел любого сегмента [a, b] является счётным множеством. 

     Сформулируем  в виде теоремы еще один пример счётного множества.

Теорема 9. Множество Р всех пар натуральных  чисел является счетным множеством.

Отступление: Под парой натуральных чисел  понимают два натуральных числа данных в определённом порядке.

Доказательство: Назовём высотою пары (n, m) натуральное число n+m. Очевидно, имеется ровно k-1 пар данной высоты k, где k>1, именно

(1, k-1), (2, k-2), . . . , (k-1, 1).

По этому  обозначая через Р_k множество всех пар высоты k, видим что множество Р есть объединение счётного множества конечных множеств Р_k, а отсюда по теореме 7 получаем что множество Р является счётным множеством.  

     Теорема 10 также даёт любопытный пример счетного множества.

Теорема 10. Множество S всех конечных последовательностей, составленных из элементов данного счётного множества D, есть счётное множество.

Доказательство: (посредствам полной математической индукции) Из предыдущей теоремы вытекает, что множество пар, составленных из элементов счётного множества D, есть счётное множество. Предположим, что доказана счётность множества S_m всех последовательностей, состоящих из m элементов данного счётного множества D. Докажем, что множество S_m+1 всех последовательностей, состоящих из m+1 элементов множества D также счётно. В самом деле, пусть

D={d₁, d₂, . . . , d_k, . . .}.

Каждой  последовательности S^{(m +1)}=(d_i ,  . . , d_i , d_k)Î S_m+1 соответствует пара (S^(m), d_k), где S^(m)= (d_i ,  . . , d_i )Î S_m, причем различным парам соответствуют различные пары этого вида. Так как множество S_m всех S^(m)  счётно, и может быть записано в виде S , . . . , S ,  . . . , то счётно и множество всех пар (S , d_k) (взаимно однозначно соответствующих парам натуральных чисел индексов i, k), а значит, и множество всех S^{(m +1)}.

Так как  каждое S_m счётно, то счётно и множество S, что и доказывает теорему. 

     В заключении докажем следующую, весьма общую теорему:

Теорема 11. Если элементы множества А определяются n значками, каждый из которых независимо от других пробегает счётное множество значений

А={a

, , . . . , }    (x_k=x , x , . . . ; k=1, 2, 3, . . . ,n),

то множество  А счётно.

Доказательство: Докажем теорему методом математической индукции.

Теорема очевидна, если n=1, то есть имеется только один значок. Допустим, что теорема верна для n=m, и покажем, что она справедлива для n=m+1.

Итак  пусть А={a , , . . . , , }.

Обозначим через A_i множество тех элементов А, для которых , где   одно из возможных значений (m+1)-го значка, т. е. положим A_i =={a , , . . . , , }.

В силу сделанного допущения множество A_i счётно, а так как А= , то счётно и множество А.

       Вот несколько предложений, вытекающих  из этой теоремы:

1. Множество точек (x, y) плоскости, у которых обе координаты рациональны, счётно.

Но более  интересным является следующий факт:

2. Множество многочленов с целыми коэффициентами счётно.

     В самом деле, это непосредственно  следует из теоремы 11, если только рассматривать  многочлены фиксированной степени  n, и для завершения доказательства следует применить теорему 8.

     
 
 
 
 

    
 

    Список используемых источников 

1.Александров  П.С. Введение в общую теорию  множеств и функций. – Ленинград, 1948.

2. Никольский С.М. Курс математического анализа. – Москва, 1983.
3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ (том 1). – Москва, 1973.
4. Архангельский А. В.  Канторовская теория множеств. – Москва, 1988.
5. Куратовский К. и Мастовский А. Теория множеств. – Москва, 1970.
6. Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в 19 веке. – Москва, 1965.