По  Т₂:     . 

1).

> 0, разделим получившееся неравенство на –8, получаем

 корни данного уравнения:  . Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 4).

Получаем  < а <  

 

2). , помножим обе части данного неравенства на 2а, при этом а ¹ 0;

2а  + 1 > 2а Þ 2а – 2а > –1 Þ 0 > –1 Þ а Î R.

3). Y(1) = 2а –2;

 корни уравнения 2а(а-1) > 0: а₁ = 0; а₂ = 1.

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 5).

Получаем  а < 0, а > 1

4). Объединим  полученные результаты: 

 

Получаем 

      Ответ: при корни уравнения (1) больше 1.

      Пример 4. При каком наибольшем целом  а оба корня уравнения заключены строго между –2 и 4:

       ; тогда корни уравнения (1): . Они должны быть заключены строго между –2 и 4:

        
Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 7). 

Получаем   

Способ 2:

По Т₂:

1). D = 1> 0;

2). ;

3). Y(–2) = а²+4а+3

  а²+4а+3 > 0; корни уравнения а²+4а+3 = 0: а₁ = –3, а₂ = –1; нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 8).

Получаем  а < –3, а > –1.

Y(4) = а²–8а+15

а²–8а+15 > 0; корни уравнения а²–8а+15 = 0: а₁ = 3, а₂ = 5; нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 9).

Получаем  а < 3, а > 5.

4). Объединим  полученные результаты:

Получаем  –1 < а < 3. 

     Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4.

     Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотношением 2х₁+х₂ = 3:

     

по теореме  Виета: ; составим и решим систему: получаем х₁ = 1, х₂ = 1, тогда а = 1.

      Ответ: а = 1.

 

2. 3. Системы уравнений

     Системы линейных уравнений типа:

1. имеют единственное решение, если
2. не имеют решений, если
3. имеют бесконечное множество решений, если

     Пример 1. Найти все значения а, при которых система имеет бесчисленное множество решений:

      

1. , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ –3;

2. , ОДЗ: а ¹ –3, а ¹ ;

, разделим обе части уравнения  на 4:

3. , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ ;

     Ответ: при а = 1 система (1) имеет бесчисленное множество решений.

     Пример 2. При каких m и n система а) имеет единственное решение; б) не имеет решений:

а). Система  (1) имеет единственное решение, когда

 

так как  5 ¹ 0 и 3 ¹ 0, то 5m ¹ 30, отсюда m ¹ 6.

б). Система  (1) не имеет решений, когда

 

1.  отсюда m = 6.
2. отсюда n ≠ 8.
3. отсюда n ≠ при m = 6 n ≠ 8, при n ≠ 8 m = 6.

    Ответ: а) при m ¹ 6 система (1) имеет единственное решение; б) при n ≠ 8 и m = 6 система (1) не имеет решений.

      Пример 3. Решить относительно х:

1. а < 0, тогда получаем систему

     Ответ: в системе (1) при а ≤ – 1 х Æ; при – а < х < при     а = 0 ; при х > – а; при а > 1 х >

 

3. Графический метод  решения задач

     Рассмотренный мною стандартный способ решения  задач с параметрами в отдельных  случаях приводят к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс решения может быть иногда упрощен, если применять графический метод.

     Пример 1. При каких значениях параметра  а уравнение имеет единственное решение:

     Пусть Тогда, возведя обе части этого уравнения квадрат, получаем х = t² – а, тогда уравнение (1) эквивалентно системе

     

.

     График  функции  при условии пересекает семейство прямых y = a в одной точке при и при а > 1 (Рис. 11).

      Ответ: при ;  а > 1 уравнение (1) имеет

единственное  решение.  
 
 

 

     Пример 2. Найти все значения параметра  а, при котором уравнение имеет ровно три различных корня:

 

     Построим  график функции  для и отразим его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс y = a, пересекает график ровно в трех точках при а = 5 (Рис. 12). 

     Ответ: уравнение (1) имеет ровно три различных

корня при а = 5. 
 
 
 
 

 
 
 
 

 

4. Заключение

     Итак, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и способы их решений и сделала вывод, что наиболее эффективным является графический метод решения задач с параметрами.

     Работа  над данным рефератом помогла  мне в учебе не только в школе, но и в Городском Компьютерном Центре при УГТУ УПИ.

     Да, я могу сказать, что я научилась  решать уравнения с параметрами, но я не хочу останавливаться на достигнутом и поэтому в следующем году я собираюсь работать над рефератом на тему: «Решение неравенств с параметрами». Также в данной работе я не рассмотрела примеры тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений, поэтому в моём реферате нельзя ставить точку.

 

Список литературы

1. Амелькин  В. В. и Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. – М.: Асар, 1996.
2. Важенин Ю. М. Самоучитель решения задач с параметрами. – Екатеринбург: УрГУ, 1996.
3. Окунев А. А. Графическое решение уравнений с параметрами. – М.: Школа – Пресс, 1986.
4. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа-Пресс, 1997.
5. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.