Решение уравнений с параметром с помощью параметрической плоскости (С5)

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №115»

 

 

 

 

 

 

 

 

«Решение уравнений с параметром с помощью параметрической плоскости (С5)»

 

 

 

 

Проект выполнила

Ершова Ксения

Учитель

Арапова Татьяна Арнольдовна

 

 

 

 

Пермь 2012 г.

Оглавление

Введение 2

Теория 4

Заключение 6

Литература 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Традиционно в ЕГЭ  по математике одно из заданий представляет собой уравнение или неравенство, содержащее параметр (С5).

     Задание С5 имеет высокий уровень сложности. В задаче требуется найти значения  параметра, при  которых система, содержащая иррациональное уравнение с модулем и неравенство с двумя переменными, удовлетворяло условию задачи.[1] Чтобы решить задачу такого типа ученик должен иметь функциональные и наглядно-геометрические представления решения.                                                               Отметим, что в 2010 году процент выпускников, приступивших к выполнению задачи С5, составил 11,8%, а в 2011 году – 12,1%. В 2010 году от 1 до 4 баллов за задачу С5 смогли получить только 2,71% участников экзамена, а в 2011 – 6,02%.

     Примерное время выполнения задания учащимся, изучавшим математику на профильном уровне – 30 мин. Примерное время выполнения задания учащимся, изучавшим математику на базовом уровне – не выполняется. Максимальный балл за выполнение задания – 4.[7]

      При проверке задачи С5 выставление баллов производится в соответствии со следующими критериями:

• обоснованно получен правильный ответ – 4;
• решение в целом верное, но допущена вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу – 3;
• обоснованно найдены верные значения параметра, однако в ответ включены посторонние значения, полученные в других случаях, несоответствующих условию задачи (либо рассмотрены необходимые случаи, но значения параметра признано не подходящим условию задачи) – 2;
• решение содержит или верное описание необходимых ситуаций в соответствии с условием задачи, или верный переход к уравнениям (неравенствам) относительно параметра – 1;
• решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0.

Максимальный балл – 4.[2]

      Задания с параметрами представляют для меня определенную сложность в техническом и логическом  плане, так как представляют собой задачи на исследование. Эти задачи требуют к себе особенного подхода по сравнению с остальными заданиями. Поскольку, в этом году мне предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен,  поэтому темой своего проекта я выбрала решение уравнений с параметрами с помощью графика.

      Цель моего проекта - приобретение навыка решения уравнений с параметром графическим способом.

 Для достижения данной цели следует выполнить следующие задачи:

      - изучить спецификацию ЕГЭ 2013 по математике для данного вида задач;

     - ознакомиться с литературой по данной теме;

    - подобрать задачи и прорешать их;

    - составить сборник заданий «Задачи типа С5. Решение с помощью графика».

 

 

Теория

         Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: , ,с ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , , , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...). В общем виде уравнение может быть записано так: ( , , ..., ) .[5]

       Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

      Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, 

функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.

      Уравнение с параметрами — математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.      Переменные a, b, c,…, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

       Параметры обозначаются  первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n  а неизвестные – буквами x, y,z.

      Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних  и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения  является решением второго и наоборот.[4] 
Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения  с параметром:

Пример нелинейного уравнения  с параметром:

где   — независимая переменная   — параметр.[6]

      Алгоритм решения задач с параметром графическим методом заключается в следующем:

1. Преобразовываем исходное условие  задачи к системе неравенств, в которых неизвестное выражается  через параметр, или, наоборот, параметр  выражается через неизвестное. 

2. Вводим систему координат  , если мы неизвестное выражали через параметр, или  , если, наоборот, параметр выражали через неизвестное.

3. Изображаем в выбранной координатной  плоскости фигуру, которая задается  множеством решений системы неравенств.

4. «Сканируем» эту фигуру, двигаясь  вдоль оси параметра и определяем, при каких значениях параметра  выполняются заданные в задаче  условия.

5. Записываем ответ. [3]

      График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента  , а ординаты — соответствующими значениями функции  .

 

 

 

Заключение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. http://imc-mosk.ru/files/ege/ege-math2012.pdf
2. ЕГЭ-2012. Математика. Функция и параметр. (Зад. С5)_Корянов А.Г, Прокофьев А.А_2012 -78с
3. http://ege-ok.ru/2012/03/28/graficheskiy-sposob-resheniya-zadach-s-parametrom-zadanie-s5-2/
4. http://www.spishy.ru/referats/22/11955
5. Сочинение на тему «Уравнения и способы их решения» Крутько Евгений
6. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_(%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE)_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8
7. Математика 2013. Спецификация