Министерство  образования РБ

ГУО «СОШ №3 г Калинковичи» 
 
 
 
 

Научно-исследовательская  работа по математике

Решение систем линейных уравнений

Выполнил  ученик 9 Б класса

                                                                                                       

Руководитель : Горохова И.И. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

г. Калинковичи,2009г.

Содержание.

 
 

1. Цель работы и ее задачи

 

2. Введение

 
 

3. Описание  работы

 
 

4. Выводы

 

5. Литература

3.Описание  работы

Решение задач, систем уравнений

Задача 1

Решить систему уравнений:

Решение:

Запишем эти  уравнения следующим образом:

Второе уравнение  возведём в квадрат, прибавим к нему третье уравнение, умноженное на 2, и вычтем первое уравнение. В результате получим:

0 = 16(a² + 1)² - 16(a² + 1)z,

т.е. z = a² + 1. Теперь второе и третье уравнения записываются так:

Решение этой системы  сводится к решению квадратного  уравнения; решая его, находим 

x = a²±a + 1,    y = a² a + 1. 

Задача 2

Система уравнений. Решите систему уравнений: 
 

Решение:

Введем новые  обозначения: Получим: 
 
Складывая уравнения системы, получим 2(u + v + t) = 15; Теперь нетрудно получить u = 3,5; v = 2,5; t = 1,5, тогда x = 2/7; y = 2/5, z = 2/3.

Задача 3

Еще система. Решите систему уравнений: 
 

Решение:

Введем новые  переменные xy = u, x + y = v, тогда система примет вид 
 
Решая последнюю систему, получим ответ: (3,2) и (2,3).

Задача 4

На базаре продаются  рыбки, большие и маленькие. Сегодня  три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера.

Решение:

Обозначим "рыбные цены": сегодня большая рыба стоит b_c, а маленькая m_c. Вчера большая стоила b_v, а маленькая — m_v. Тогда из условий задачи имеем два уравнения 
3b_c + m_c = 5b_v, 2b_c + m_c = 3b_v + m_v. 
Отсюда получаем: 
5m_v = (2b_c + m_c – 3b_v)5 = 10b_c + 5m_c – 3(3b_c + m_c) = b_c + 2m_c. 
То есть пять маленьких вчера стоили столько же, сколько одна большая и две маленькие сегодня.

Задача 5

Найти все действительные решения системы:

Решение:

Если x = 0 или ±1, то y = ±1 или 0. Ясно также, что x ≠ -1 и y ≠ -1. Поэтому решений такого вида ровно два: x = 0, y = 1 и x = 1, y = 0. Покажем, что других решений нет.  
Нас интересует случай, когда 0 < | x|,| y| < 1. В таком случае | x|³ + | y|³ < x⁴ + y⁴ = 1. Поэтому если числа x и y оба положительны, то решений нет. Если оба эти числа отрицательны, то решений тоже нет. Пусть теперь, например, x > 0 и y < 0. Тогда x³ + y³ < x³ < 1. В этом случае решений тоже нет.

Задача 6

Решить систему  уравнений:

Решение:

Пусть xy = t. Несложно проверить, что

x⁵ + y⁵ = (x + y)⁵ - 5(x + y)³xy + 5(x + y)x²y² = a⁵ - 5a³t + 5at²

Для t получаем квадратное уравнение t² - a²t + = 0. Решая его, находим t = a²± . В результате получаем систему уравнений

Решение этой системы тоже сводится к решению  квадратного уравнения.

Задача 7

Решить систему  уравнений:

Решение:

Рассмотрим сначала  случай, когда b = 0. В этом случае последние два уравнения запишутся в виде z = - x - y и z² = x² + y². Возведя первое из них в квадрат, получим xy = 0. Значит, x = 0, z = - y или y = 0, z = - x. Первое уравнение исходной системы при этом выполняется. Рассмотрим теперь случай, когда b 0. Воспользуемся тождеством

3xyz - x³ - y³ - z³ = (x + y + z)(xy + yz + xz - x² - y² - z²).

Из первого  и второго уравнений следует, что xy + yz + xz - x² - y² - z² = . Возведя в квадрат уравнение x + y + z = 2b, получим x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz = 4b². Следовательно, x² + y² + z² = b² и xy + yz + xz = b². Сравнивая первое из этих уравнений с последним уравнением исходной системы, получаем z = 0. Таким образом, x² + y² = b² и xy = b². Решая эту систему уравнений, находим x = 1± b, y = 1 b.

Задача 8

Система уравнений  второго порядка 

имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений системы уменьшается до трех или до двух?

Решение:

Ответ: число решений уменьшается до трёх при a = ±1, число решений уменьшается до двух при a = ± . Из первого уравнения получаем y = ±x. Подставив это выражение во второе уравнение, получим

(x - a)² + x² = 1.(1)

Число решений  системы уменьшается до трёх, если одно из решений уравнения (1) обращается в нуль. Подставив в (1) x = 0, получим a² = 1, т.е. a = ±1. Число решений системы уменьшается до двух, если уравнение (1) имеет единственный корень (т.е. два совпадающих корня). Приравнивая нулю дискриминант уравнения (1), получаем a = ± .

Задача 9

Дана система  уравнений:

Какие значения может принимать x₂₅?

Решение:

Ответ: x₂₅ = 1, . Заметим, что x₁ ^... ... ^. x_k удовлетворяет уравнению x + = 1 x² - x - 1 = 0, поскольку

 

Поэтому x₁ ^... ... ^. x_k = . С другой стороны, по той же причине x₁ ^. ... ^. x_{k + 1} = . Откуда получаем, что x_{k + 1} = , где = ±1. Поэтому x₂₅ = 1, . В первом случае подходит пример из всех единиц, а во втором случае чередующиеся и .

Задача 10

Имеется система  уравнений 

Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа. Доказать, что начинающий всегда может  добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Решение:

Начинающий  первым ходом записывает произвольный коэффициент при z в первом уравнении. Затем на ход второго он отвечает следующим образом. Если второй записывает какой-то коэффициент при x или при y, то первый записывает в том же самом уравнении при y или при x такой же коэффициент. Если же второй записывает какой-то коэффициент при z, то первый записывает произвольный коэффициент при z в оставшемся уравнении. Полученная система имеет решение (1, - 1, 0).

Задача 11

Автор: Л. Тутеску

 
Решите систему уравнений:  
 
(x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁  
(x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂  
(x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃  
(x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄  
(x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅

Решение:

Вместе с каждым набором чисел (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅), удовлетворяющим этой системе уравнений, ей удовлетворяют также наборы, полученные циклической перестановкой: (x₂, x₃, x₄, x₅, x₁), (x₃, x₄, x₅, x₁, x₂) и т. д. Поэтому можно предполагать, что x₁ ≥ x_i, (i = 2, 3, 4, 5). 
Воспользуемся тем, что функция f(x) = x⁵ возрастающая. При нашем предположении  
3x₂ = (x₄ + x₅ + x₁)⁵ ≥ (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁, 
откуда x₂ ≥ x₁, т. е. x₂ = x₁. Затем, аналогично, из неравенства 
3x₃ = (x₅ + x₁ + x₂)⁵ ≥ (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂ 
выводится, что x₃ = x₂; из неравенства 
3x₄ = (x₁ + x₂ + x₃)⁵ ≥ (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃ 
следует, что x₄ = x₃ и наконец, из равенства 
3x₅ = (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄  
получаем x₅ = x₄. 
Итак, все xj (j = 1, 2, 3, 4, 5) равны одном у и том у же числу x₁; для него получаем уравнение (3x₁)⁵ = 3x₁, откуда x₁ = 0 или x⁴₁ = (1/3)⁴, т. е. x₁ = ±1/3.

Ответ:

система имеет  три решения: x₁ = x₂ = x₃ = x₄ = x₅, где x₁ = 0, x₁ = 1/3 или x₁ = –1/3.

Задача 12

На отрезке [0;1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка  расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.

Решение:

 

  Первый способ. 1^o. Обозначим координаты концов отрезка и отмеченных точек через x₀, x₁, ..., x_{n + 1} ( 0 = x₀ < x₁ < ... < x_{n + 1} = 1). Условие задачи означает выполнение n равенств вида

x_i =

(a_i + b_i)    (i = 1, 2,..., n),