Решение систем линейных алгебраических уравнений

 

0   0   0  …  1  

 

Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A ¹ 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной  выше задаче решения системы уравнений.

Пусть  A – квадратная невырожденная матрица порядка n:

 

          a₁₁   a₁₂   a₁₃  … a_1n     

          a₂₁   a₂₂   a₂₃  … a_2n     

A =    a₃₁   a₃₂   a₃₃  … a_3n   

 

          a_n1   a_n2   a_n3  … a_nn    

 

и A^-1 – ее обратная матрица:

 

           x₁₁   x₁₂   x₁₃  … x_1n     

           x₂₁   x₂₂   x₂₃  … x_2n     

A^-1 =   x₃₁   x₃₂   x₃₃  … x_3n   

 

           x_n1   x_n2   x_n3  … x_nn    

 

Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n² уравнений с n² переменными x_ij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

 

a₁₁x₁₁ + a₁₂ x₂₁ + a₁₃x₃₁ + … + a_1nx_n1 = 1

a₂₁x₁₁ + a₂₂ x₂₁ + a₂₃x₃₁ + … + a_2nx_n1 = 0

a₃₁x₁₁ + a₃₂ x₂₁ + a₃₃x₃₁ + … + a_3nx_n1 = 0                                       (3.20)

 

a_n1x₁₁ + a_n2 x₂₁ + a_n3x₃₁ + … + a_nnx_n1 = 0

 

Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

 

a₁₁x₁₂ + a₁₂ x₂₂ + a₁₃x₃₂ + … + a_1nx_n2 = 0

a₂₁x₁₂ + a₂₂ x₂₂ + a₂₃x₃₂ + … + a_2nx_n2 = 1

a₃₁x₁₂ + a₃₂ x₂₂ + a₃₃x₃₂ + … + a_3nx_n2 = 0                                          (3.21)

 

a_n1x₁₂ + a_n2 x₂₂ + a_n3x₃₂ + … + a_nnx_n2 = 0

 

и т. д.

Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.

Пример 3.4.

Вычислим обратную матрицу A^-1 для матрицы

 

A = 1.8   –3.8    0.7    –3.7

0.7     2.1  –2.6    –2.8

7.3     8.1    1.7    –4.9

1.9   –4.3 –4.3    –4.7

 

По формулам (3.7) за три  шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу

 

1.8              –3.8               0.7              –3.7

0                   3.57778    –2.87222       –1.36111

0                   0               17.73577       19.04992

0                   0                  0                   5.40155

 

Далее, применим процедуру  обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных  по формулам (3.7) из столбцов единичной  матрицы:

1           0             0           0

0           1             0           0

0  ,        0  ,          1  ,        0

0           0             0           1

 

Каждый раз будем получать столбцы  матрицы A^-1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A^-1:

 

–0.21121   –0.46003    0.16248     0.26956

–0.03533     0.16873    0.01573   –0.08920

  0.23030     0.04607  –0.00944   –0.19885 .

–0.29316   –0.38837    0.06128     0.18513