Редукция к задаче Коши двухточечной задачи для линейного уравнения 2-го порядка

Содержание 

Введение

1. Общие свойства алгебраических уравнений

2. Редукция к задаче Коши двухточечной задачи для линейного

уравнения 2-го порядка

     2.1. Суть метода

     2.2. Пример решения

3. Пример решения задачи

     3.1. Алгоритм решения

     3.2. Анализ полученных результатов

Заключение

Список использованной литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

В различных  странах в технике широкое  применение находят оболочки и другие пространственные конструкции, что  во многих случаях связано с использованием тонкостных систем. Поэтому изучение напряжонно-деформированного состояния конструкций сложной формы является наиболее актуальным вопросом строительной механики, где непосредственно используется метод “Редукция граничной задачи к задаче Коши”. В этом методе есть свои достоинства (он численно устойчив для широкого класса задач) и недостатки (не точность метода решения). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Общие свойства алгебраических уравнений 

     Рассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени (n≥1) 

                  

     (1) 

где коэффициенты - действительные числа, причем

В общем случае переменную х будем считать комплексной. 

     Основная теорема алгебры. Алгебраическое уравнение n-й степени (1)

(а следовательно,  и полином P(x) ) имеет ровно n корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз какова его кратность.

     При этом говорят, что корень η уравнения (1) имеет кратность s ( т.е. η есть s-кратный корень), если 

,

. 

     Комплексные корни уравнения (1) обладают свойством парной сопряженности.

     Теорема. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1)-действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если ( - действительные) есть корень уравнения (1), кратности s, то число также  является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.

     Отметим, что модули этих корней одинаковы:

      Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере один действительный корень. 
 

2. Редукция к задаче Коши двухточечной задачи для линейного уравнения 2-го порядка.

Дано линейное дифференциальное уравнение:

                        

      (1)

где функция непрерывны, и требуется найти его решение, удовлетворяющее краевым условиям:

                  

    (2)

( - заданные постоянные, причем и ).

2.1. Суть метода.

Решение будем  искать в виде линейной комбинации

                             

          (3)

где - ненулевое решение соответствующего однородного уравнения:

                        

         (4)

а - некоторое решение данного неоднородного уравнения (1):

                  

.          (5)

Очевидно, функция у, определяемая формулой (3), где с произвольно, есть решение уравнения (1).

     Потребуем, чтобы первое краевое условие (2) выполнялось для функции у при любом с. Используя это краевое условие, будем иметь:

или

(6) 

      Для того чтобы равенство (6) было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при с обращался в нуль, т.е. должны быть выполнены равенства:

(7)

(8)

Для обеспечения равенств (7) и (8) достаточно, например, положить:

  (9)

где постоянная k отлична от нуля;

  (10)

Если , и

  (11)

Если 

      Отсюда видно,  что и есть решение задачи Коши для однородного уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (9), а есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям (10) или (11). При этом для любого с функция удовлетворяет краевому условию на конце . 

     Подберем теперь постоянную с так, чтобы функция у удовлетворяла краевому условию (2) на конце . Это дает:

Откуда

При этом предполагается, что знаменатель

(12)

     Таким образом, краевая задача (1)-(2) сведена к двум задачам Коши для функций   и и . 

     Заметим, что если обеспечено условие (12), то краевая задача (1)-(2) имеет единственное решение. В противном случае она или совсем не имеет решений, или их бесчисленное множество. 

2.2. Пример решения. 

Если исходное уравнение (1) однородное, т.е. , кроме того, А=0, то в силу условий (10) или (11) имеем и и, следовательно, . Поэтому , где , есть решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (9). В этом случае:

 
 

3. Пример решения  задачи.

      Найти решение однородного уравнения

, (13)

удовлетворяющее краевым условиям

   (14) 

3.1 Алгоритм решения.

Сравнивая условия (14) с общими краевыми условиями (2), видим, что

  A=0; B=1. В силу приведенного выше замечания решение ищем в виде

 

где - решение однородного уравнения

, (15)

удовлетворяющее начальным условиям (9), где принято k=-1, т.е.

   (16)

Из второго  краевого условия (14) получаем cи(1)=1, отсюда с=1/и(1).

      Решая любым численным методом задачу Коши (15)-(16), находим и(х), а следовательно, и постоянную с, после чего определяем у. 

3.2. Анализ полученных  результатов.

     Рассмотрим один из способов решения уравнения (13) учитывая начальные условия (14). Решения представим в виде ряда Тейлора, для этого нам необходимо знать y(0), y’(0), y”(0), т.д. 

 

Для этого сделаем  следующие операции 

 

В силу начальных  условий получаем

 

Поэтому

 

Решение краевой  задачи для однородного уравнения 

 

 

Графическая реализация решения краевой задачи для однородного уравнения 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

Основным результатом  курсового проекта является изучение метода редукции граничной задачи к  задаче Коши и применение его на конкретном примере.

Этот метод  позволяет эффективно решать линейные дифференциальные уравнения с заданными граничными условиями. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Численные методы анализа: учебное пособие для вузов.-К.: Высшая школа,1970.-308с.
2. Демидович Б,П, Основы вычислительной математики.- М.:Наука, 1977.-158с.