Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Мая 2012 в 10:21, курсовая работа
Актуальность моего исследования определила цель и задачи работы: Цель исследования – рассмотреть развитие понятия числа. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
На основе анализа зарубежной и отечественной литературы, монографических источников изучить заявленную тему.
Провести анализ истории развития понятия числа.
Рассмотреть понятие числа.
Выявить и проанализировать развитие понятия числа.
На основе проведенного исследования сделать выводы и дать рекомендации по работе.
Это положение вещей не противоречит по существу фундаментальному значению понятия числа для всей математики и для ее усвоения — важно только правильно оценить конкретное место и связь этого понятия с другими. Высоко оценивая роль числа в общей системе математических знаний, вместе с тем нельзя делать «быстрых» выводов применительно к указанию его места в программе преподавания математики.
Характерно следующее обстоятельство. Методисты (например, Н. С. Попова), полагающие, что преподавание математики в школе необходимо начинать именно со знакомства с натуральным числом, вместе с тем сами отмечают возможность фиксации количественных отношений множеств, не прибегая к счету и даже не умея называть числа. «Изучая развитие числовых представлений в онто- и филогенезе, мы приходим к убеждению, что понятие числа и операция счета возникают одновременно при условии взаимодействия категории количества и категории порядка, хотя обе эти категории могут существовать независимо от числа и счета и независимо одна от другой» [39, стр. 9] «Еще не умея считать, ребенок различает знакомые группы предметов в количестве двух и даже трех... Такое непосредственное восприятие множества свидетельствует о зарождении у ребенка количественных представлений, однако, в это время он еще далек от овладения понятием числа» [39, стр. 11]. В этих высказываниях, с одной стороны, признается производность числа и счета от категорий количества и порядка, независимость последних от первых, с другой — возможность зарождения у ребенка количественных представлений до овладения понятием числа. Однако при построении учебного предмета вновь исходят из того, что в школе «приходится в первую очередь иметь дело с понятием числа (натурального) и с операцией счета» [39, стр. б]. Такой подход к выбору начальных пунктов обучения становится возможным по крайней мере при трех допущениях.
Во-первых, при допущении, что категории количества и порядка хотя и возникают в филогенезе до и независимо от числа, однако с его появлением уже теряют свою самостоятельность, «снимаются» числом настолько, что практически не могут служить основой для формирования математических понятий. Число, как результат взаимодействия этих категорий, воплощает их настолько полно, что сами они могут быть раскрыты именно на числах, последовательность которых, кстати, ребенок быстро и успешно усваивает. Именно внутри числа и счета необходимо выделять их двойственную природу [39, стр. 14].
Во-вторых,
до появления числа, и счета количественная
оценка совокупностей как в фило-,
так и в онтогенезе носит доарифметический
характер; «доарифметические операции»
связаны с элементарными
Двойственная природа чисел и счета требует особого внимания педагога к «доарифметической» подготовке ребенка, но сама по себе, вне обучения числу и счету, она смысла не имеет.
В-третьих, указанная форма связи числа и счета (полноценных представлений — арифметических огераций) с возникшими до них категориями количества и порядка (неразвитых представлений — доарифметических образований) позволяет положить арифметику (число) в основу овладения всей математикой.
Эти допущения упускают, на наш взгляд, некоторые важные обстоятельства как собственно математического, так и логико-психологического характера.
В филогенезе множества и их мощности как объекты определенных практических преобразований, очевидно, были выделены людьми раньше, чем собственно числовая характеристика совокупностей (см., например, соображение И.К. Андронова [3, стр. 6, 11—121), но общие понятия множества и мощности были сформулированы гораздо позже, чем делались попытки теоретически определить число (см., например, замечание Е.Г. Гонина [15, стр. 13]). Конечно, представление о множестве и соотношениях эквивалентности и порядка в древности не имело той теоретической формы, которую имеют современные научные понятия. Но из этого нельзя делать вывод, будто бы «доарифметические» сопоставления совокупностей сами по себе менее значимы, чем «арифметические», а арифметические действия являются более «важной» формой знания, чем «доарифметическое» описание.
Если в онтогенезе обнаруживаются «доарифметические» способы, то это не является показателем недостаточной сознательности «количественных представлений», а только выражением особого — и не менее значимого — типа их фиксации и анализа, которому может и должна быть придана развернутая форма. И конечно, необходимо правильно сформировать у ребенка понятие о связи «до-арифметических» и «арифметических» операций. Стремление же как можно «быстрее» ввести в обучение частную арифметическую форму выражения математических зависимостей извращает у детей представление об этих зависимостях, о связи общего и частного.
Приведенные выше материалы показывают, что в современной математике особое место занимает общее понятие множества. Оно все больше и больше проникает и в чисто школьную литературу, приобретает все больший вес при введении числа.
В заключении следует добавить, что понятие множества вводится в математику без логического определения. При этом подразумевается следующее: науки, прежде всего, имеют дело с некоторыми объектами, которые объединяются в совокупности, классы, множества. Объекты, принадлежащие множеству, называются элементами этого множества [15, стр. 7—8]. Иногда множество можно точно описать, перечисляя все его элементы. Но для очень обширных множеств это сделать трудно или просто невозможно. Более общий способ задания множеств состоит в том, что указывается правило, позволяющее относительно любого объекта установить, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Это правило (или требование, налагаемое на объекты) связано с некоторым свойством, присущим только тем объектам, которые этому правилу удовлетворяют. Следовательно, «с каждым множеством связано определенное свойство, присущее тем и только тем объектам, которые принадлежат этому множеству» [15, стр. 9]
Рассмотрение этого способа введения «множества» показывает, что сам по себе он ничего специфически математического не несет. Действительно, вне математической интерпретации множеств и в повседневной жизни, и в разнообразных научных исследованиях люди постоянно выделяют классы, совокупности, группы объектов и отдельные входящие в эти совокупности элементы. Причем в каждом частном случае свойство, по которому выделяется та или иная группа, определяется как существенное ее качество. Поиск этого свойства («выделение группы») и его отнесение к элементу (включение последнего в «множество») представляет проблему для соответствующих наук (физики, химии, биологии, политэкономии и др.). Еще с древних времен уже в пределах формальной логики были сформулированы правила, позволяющие фиксировать свойства объектов, выделяя сообразно этому свойству некую их группу. Каждое слово, как обобщение, уже фиксирует определенное свойство и выделяет соответствующий ему класс вещей (дом, человек и т. д.). Само выделение совокупности, класса реальных объектов и трактовка их как «множества» еще не указывает специфически математического аспекта в подходе к объектам других наук и практической деятельности. Правда, при этом осуществляется важная абстракция — для «множества» безразлична природа входящих в него элементов, должно лишь быть указано, что к данному множеству принадлежит. Однако такая абстракция сама по себе лежит в пределах формально-логического описания и чисто логических правил, позволяющих производить некоторые соотнесения (например, в силлогизмах), отвлекаясь от «конкретной» природы рассматриваемых объектов13.