Расчетно-графическая работа по "Теории вероятности"

В расчестно-графической работе анализируется  случайная величина X-количество съеденных шоколадок за месяц. В моем испытании приняли участие 110 человек, результаты испытаний представлены в таблице:

 

Количество  шоколадок, съеденных одним человеком, шт.

120	158	161	153	153	121	156	156	132	148
141	126	150	160	162	132	154	165	119	148
132	184	134	164	143	174	139	159	117	164
106	141	155	156	170	121	139	153	125	146
177	152	177	144	148	144	164	132	155	126
120	141	157	155	162	141	149	155	161	162
167	125	125	150	130	120	172	143	159	145
153	139	160	166	176	166	150	144	141	176
158	133	139	131	141	128	148	148	148	172
190	176	161	127	115	139	143	140	162	171
117	160	145	134	183	123	154	160	146	175

 

 

2. Для построения точечного вариационного ряда 1,расположим значения х_i по возрастанию и отметим частоту n_i,соответствующую каждому х_i

Ряд 1: точечный вариационный ряд.

 

Хi	106	115	117	119	120	121	123	125	126	127	128	130	131
ni	1	1	2	1	3	2	1	3	2	1	1	1	1
хi	132	133	134	139	140	141	143	144	145	146	148	149	150
ni	4	1	2	5	1	6	3	3	2	2	6	1	3
хi	152	153	154	155	156	157	158	159	160	161	162	164	165
ni	1	4	2	4	3	1	2	2	4	3	4	3	1
хi	166	167	170	171	172	174	175	176	177	183	184	190
ni	2	1	1	1	2	1	1	3	2	1	1	1

 

Проверка: . В результате построения ряда 1 получилось 51 различных значений в выборке.

3. Чтобы от ряда 1 перейти к интервальному ряду 2,проводим следующие вспомогательные расчеты: х_мах=190 шт., х_мin=106 шт.

Размах  вариации R=190-106=84 чел. Получаем диапазон значений в выборке [106;190],который для удобства расчетов следует разбить на k интервалов:

K_расч ln110+1=7,781. Так как k должен быть целым округляем k_расч. и тогда k =8 интервалам.

Шаг интервала (ширина интервала) h= =10,5.

Находим границы интервалов: С₀=106, С₁=106+10,5=116,5, С₂=116,5+10,5=127, С₃ =127+10,5=137,5, С₄ =137,5+10,5=148, С₅ =148+10,5=158,5; С₆ =158,5+10,5=169; С₇ =169+10,5=179,5; С₈ =179,5+10,5=190= Х_мах. Подсчитаем, сколько значений попало в каждый интервал, и оформляем результаты в виде ряда 2:

Ряд2: интервальный вариационный ряд

106-116.5	116.5-127	127-137.5	137.5-148	148-158.5	158.5-169	169-179.5	179.5-190
2	14	11	22	27	20	11	3

Ci-1-Ci

ni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка: =110

4. Для построения ряда 3 находим середину каждого интервала:

 

 

Х^*₁= =111,25

Х^*₂= =121,75

Х^*₃=

Х^*₄=

Х^*₅=

Х^*₆=

 

Х^*₇=

 

 

Х^*₈=

 

 

 

Ряд 3. Точечный ряд.

 

Х*i	111,25	121,75	132,25	142,75	153,25	163,75	174,25	184,75
ni	2	14	11	22	27	20	11	3

 

 

 

 

 

 

 

Для ряда 4 находим относительные частоты:

Хi	111,25	121,75	132,25	142,75	153,25	163,75	174,25	184,75
wi	0,018182	0,127273	0,1	0,2	0,245455	0,181818	0,1	0,0272727
Wi, %	1,81%	12,72%	10%	20%	24,54%	18,18%	10%	2,72%

 

=1  

 

Для ряда 5 рассчитываем накопленные частоты: m₁=n₁=2; m₂=n₂+m₁=2+14=16; m₃=27; m₄=49;             m₅ =76; m₆=96; m₇=107; m₈=110.

 

Ряд 5. Точечный ряд, построенный по накопленным частотам.

 

хi	111,25	121,75	132,25	142,75	153,25	163,75	174,25	184,75
mi	2	16	27	49	76	96	107	110

 

5.Графики:

Полигон частот

 

Х^*_I – количество шоколадок, шт.

 

 

Кумулята

 

111,25         121,75        132,25      142,75      153,25      163,75        174,25      184,75

Х^*_I – количество шоколадок, шт.

По графикам можно определить следующие  меры положения: моду х_mod –по полигону частот, как значение, соответствующее наибольшей частоте (х_mod 153 шт.), медиану х_med-по кумуляте, как значение, соответствующее половине выборке, т.е. 55 (х_med 153 шт.). Это означает, что за месяц было съедено примерно 153 шоколадки, средневероятное число шоколадок тоже составляет 153 шт.

 

Гистограмма

Количество шоколадок, шт.

 

 

6. Эмпирическая функция распределения: F^*(x) –это статистическая аппроксимация функция распределения F(x)=P(x<X). Например, F^*(x)= 0,75-это вероятность того,что x< 153,25 ,т.е. в 75% случаев количество съеденных шоколадок за месяц одним человеком(в ходе испытаний)составило менее 153 шт.

 

111,25	121,75	132,25	142,75	153,25	163,75	174,25	184,75
2	16	27	49	76	96	107	110

 

 

F^*(x)=

 
Эмпирическая функция распределения: F^*(x) 

Кол-во шоколадок, шт.

 

 

7.Числовые характеристики

Для расчета числовых характеристик составим вспомогательную таблицу :

		Расчет  в		Расчет Dв		Расчет Аs	Расчет Ек
X*i	ni	х*i ni	X*i – в	(х*i) 2 ni	ni(х*i - в)	ni(х*i - в)3	ni(х*i - в)4
111,25	2	222,5	-37,89545455	24753,125	2872,13095	-108840,7079		4124568,098
121,75	14	1704,5	-27,39545455	207522,88	10507,15302	-287848,2329		7885733,179
132,25	11	1454,75	-16,89545455	192390,69	3140,020227	-53052,06902		896338,8207
142,75	22	3140,5	-6,395454545	448306,38	899,8404545	-5754,888725		36805,12926
153,25	27	4137,75	4,104545455	634110,19	454,8769215	1867,063		7663,444952
163,75	20	3275	14,60454545	536281,25	4265,854959	62300,87265		909875,9264
174,25	11	1916,75	25,10454545	333993,69	6932,620227	174040,2796		4369202,111
184,75	3	554,25	35,60454545	102397,69	3803,050971	135405,9012		4821065,563
итого	110	16406	-9,163636364	2479755,9	32875,54773	-81881,78207		23051252,27

А) меры положения 

Средне выборочное значение:

_в= (111,25^.2+121,75^,14+132,25^.11+142,75^.22+153,25^.27+163,75^.20+174,25^.11+184,75^.3)= шт.

 

В течение наблюдаемого времени  один человек в среднем съедал 149,145 шоколадок.

Медиана: х_med=148+10,5^. =150,33 шт.

Медиану также можно определить, как значение случайной величины Х, расположенное между х_n/2 и х_(n/2)+1 при четном n. Х₅₅ , Х₅₆ определяем по ряду 1,как значения ,расположенные напротив накопленных частот 55 и 56:

 х_med = =148,5.

 

Мода : х_mоd=148+10,5* шт.

 

 

По ряду 1 х_mоd –это значение ,соответствующее наибольшей частоте, следовательно, х_mоd=148.

Таким образом, наиболее встречающееся  количество съеденных шоколадок  одним человеком составляет 148 шт.

Б) Меры разброса (рассеяния)

Дисперсия:

D_в= (2872,13095+10507,15302+3140,020227+899,8404545+454,8769215+4265,854959+6932,620227+3803,050971)= =298,86862

Дисперсия также можно рассчитать по второй формуле :

 

D_в= =298,86862

 

 

 

Коэффициент вариации: V=

 

Абсолютное отклонение от среднего значения составляет 17,28 шт. ,относительное отклонение от среднего равно 11,5%.

 

В) Меры формы

Выборочный коэффициент ассиметрии: А_S= =-0,144, где -744,379.

Выборочный коэффициент эксцесса: Е_К= -3=-0,653 , где .

Отрицательное значение коэффициента ассиметрии говорит о том, что  вершина находится справа, а более  длинная часть графика расположена слева от вершины. Отрицательное значение эксцесса говорит о плосковершинности кривой распределения.

 

8. Вывод о близости наблюдаемого  распределения к нормальному:

1. полигон частот имеет не куполообразный вид.
2. Х_моd Х_меd: 149,145 152,375 150,33;
3. Значение коэффициента ассиметрии близко к нулю;
4. Значение коэффициента эксцесса не близко к нулю;
5. Коэффициент вариации меньше 33%.

Таким образом ,на основании  проделанных  расчетов можно сделать предварительный  вывод о не близости наблюдаемого распределения случайной величины Х-числа съеденных шоколадок за месяц к нормальному.

 

 

 

Тема 2. статистическое оценивание параметров.

Несмещенная оценка неизвестного математического ожидания:

шт.

Несмещенная оценка неизвестной дисперсии:

S²=

 

S=

 

2. Интервальные оценки:

А) для неизвестного математического  ожидания:

Пусть доверительная вероятность , тогда t_0,95= t =1,9819, при этом 145,8635691 <a< 152,42734.