Применение тройных интегралов к решению задач

 

 

где область  ограничена поверхностями:

 

Решение.

1. Поскольку — область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом , удобно перейти к сферическим координатам:

 

 

 

При этом , а искомый интеграл определяется формулой:

 

 

 

2. Заменяем в уравнениях поверхностей на , на и на . Получаем:

 

 

 

3. Зададим область с помощью системы неравенств:

 

 

 

4. Переходя от тройного интеграла к повторному и последовательно интегрируя, получаем:

 

 

Ответ:.

 

3.4 Вычисление объёмов с помощью тройного интеграла

 

Постановка задачи. Найти объем тела , ограниченного заданными поверхностями.

 

План решения. Искомый объем равен:

 

1. Зададим область неравенствами.

2. Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.

 

Пример 1. Найти объем тела , ограниченного поверхностями:

 

 

Решение.

1. Зададим область неравенствами. Поскольку , для имеем неравенства . Поскольку у фигурирует под знаком квадратного корня, . Для возможны неравенства или . В первом случае . Во втором случае, т.е. область неограничена, что неприемлемо.

 

Итак,

 

 

2. Вычисляем объем ,сводя тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. объема.

 

Пример 2. Найти объем тела ограниченного поверхностями:

 

 

 

Решение.

1. Поскольку  - тело вращения вокруг оси удобно использовать цилиндрические координаты:

 

 

При этом , а искомый объем определяется формулой :

 

где область  ограничена поверхностями:

 

2. Зададим область  неравенствами. Возможны два случая: либо

 , либо . В первом случае , во втором случае , т.е. область неограничена, что неприемлемо.

Итак,

 

 

3. Вычисляем объем, сводя  тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. объема.

 

Пример 3. Найти объем тела , ограниченного поверхностями:

 

Решение.

1. Поскольку - область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:

 

При этом , а искомый объем определяется формулой:

 

Заменяем в уравнениях поверхностей на , на и на . После преобразований получаем:

 

 

 

Область ограничена этими поверхностями.

2. Зададим область  системой неравенств:

 

 

3. Вычисляем объем, сводя  тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. объема.

 

3.4 Вычисление массы тела

Постановка задачи. Найти массу тела с плотностью , ограниченного заданными поверхностями.

 

 

План решения.

1. Масса тела  с плотностью , определяется формулой:

 

2. Зададим область  неравенствами.

3. Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.

 

Пример 1. Найти массу тела с плотностью , ограниченного поверхностями:

 
Решение.

1. Масса тела  с плотностью определяется формулой:

 

2. Зададим область  неравенствами. Поскольку , для имеем неравенства . Поскольку фигурирует под знаком квадратного корня, . Для возможны неравенства или . В первом случае . Во втором случае , т.е. область неограничена, что неприемлемо.

Итак,

 

3. Вычисляем , сводя тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. массы.

 

Пример 2. Найти массу тела с плотностью , ограниченного поверхностями:

 
Решение.

1. Масса тела  с плотностью определяется формулой:

 

Поскольку - тело вращения вокруг оси , удобно перейти к цилиндрическим координатам:

 

При этом а искомая масса определяется формулой:

 

Заменяем в уравнениях поверхностей на и на . Получим

 

2. Зададим область  системой неравенств:

 

 

 

3. Вычисляем , сводя тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. массы.

 

Пример 3. Найти массу тела с плотностью , ограниченного поверхностями:

Решение.

1. Масса тела  с плотностью определяется формулой:

 

Поскольку - область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:

 

 

 

При этом   а искомая масса определяется формулой:

 

Заменяем в уравнениях поверхностей на , на и на . Получаем:

 

Область ограничена этими поверхностями.

2. Зададим область  системой неравенств:

 

 

3. Вычисляем , сводя тройной интеграл к повторному:

 

Здесь мы воспользовались  формулой:

 

 

Ответ: ед. массы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

      Итак, тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных интегралов на случай трехмерного пространства. Они обладают аналогичными двойным интегралам необходимыми и достаточными условиями существования и свойствами. Тройные интегралы, как и двойные, имеют широкое применение в различных физических и геометрических задачах. Нахождение массы тела, момента инерции тела, ньютоновского потенциала тела в точке и других задач сводится к вычислению тройного интеграла.

      Тройные интегралы в некоторых случаях более удобны для вычисления объемов, чем двойные, так как с их помощью можно вычислить объем не только криволинейного цилиндра, но и других тел.

      Главной особенностью тройного интеграла стало его широкое применение в физике и геометрии. Именно это сделало тройной интеграл неотъемлемой  частью современной промышленности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Зимина О. В. , Кириллов А. И. , Сальникова Т. А. Высшая математика.—2-е изд., испр. —М: Физико-математическая литература, 2001. —368 с.
2. Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть II: Учеб.: Для вузов. —4-е изд. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 464 с. —(Курс высшей математики и математической физики).
3. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. —4-е изд. стер. — М.: Высш. школа. 1998. —479 с.: ил.
4. Гусак А.А. и др.Справочник по высшей математике/ А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. – Мн.: ТетраСистемс.

1999. - 640 с.

      5.  Прохоров А. М. Большая Советская энциклопедия Издание 3-ет.10.,                                              

            — М.: Сов. энцикл.1972.