Построение графика параметрически заданной функции

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики
Реферат по дисциплине «Математический анализ»
Построение графиков параметрически заданных функций
		Работу выполнила студентка 121 группы Локтева Наталья Юрьевна ________________ подпись
Оценка за реферат ______________________		Проверила канд. пед. наук, доц. Л.П.Латышева ________________ подпись
	Пермь 2013

 

Оглавление:

 

Введение………………………………………………….……………………......3

1. Параметрическое задание функции…………………………………………...5

2. Построение графика параметрически заданной функции…………………...8

Заключение……………………………………………………………………….11

Список литературы………………………………………………………………12

 

Введение:

Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины.

Изучение поведения  функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и порой является единственным средством их решения

В настоящее время  в курсах математического анализа  и высшей математики широко освещаются методы построения графика функции. Вместе с тем построению кривых, задаваемых параметрически, уделяется  мало внимания, и многие стороны этого более сложного исследования почти не затрагиваются. Как следствие, практическая работа, связанная с параметрически заданными функциями и их графиками, представляет собой определенные трудности. В связи с этим тема этой работы является актуальной.

В отечественной литературе, включая переводную, нет обстоятельного изложения данного вопроса. В  имеющих распространение математических руководствах рассматриваются один два стандартных примера. В курсах дифференциальной геометрии внимание, как правило, обращается на принципиальную сторону дела, но техника исследования и построения кривых не развивается.

Исходя из выявленных противоречий современной теории, практики и состояния изученности вопроса, можно определить проблему исследования – научное обоснование построения графика параметрически заданной функции.

Цель работы: на основе анализа теоретических и практических данных обосновать эффективность изучения параметрически заданной функции путем построения ее графика.

Задачи: раскрыть смысл понятия «параметрически заданная функция» и построить ее график.

 

1. Параметрическое задание функции

Параметрическое представление  функции представляет собой выражение  функциональной зависимости между  несколькими переменными посредством  вспомогательных переменных – параметров. В случае двух переменных x и y зависимость между ними F(x;y)=0 может быть геометрически истолкована как уравнение некоторой плоской кривой. Любую величину t, определяющую положение точки (x;y) на этой кривой, можно принять за параметр, в функции которого выразятся x и y:

Последние функции и  дадут параметрическое представление  функционально зависимости между x и y. Так, для случая зависимости имеем параметрическое представление , (0≤t<2π) (параметрическое представление уравнения окружности); для случая зависимости имеем параметр t≠0) или также (-π<t<π, t≠0) (параметрические уравнения гиперболы). Если параметр t можно выбрать так, что функции рациональны, то кривую называют уникурсальной; такой является, например, гипербола. Особенно важно параметрическое представление пространственных кривых, т. е. задание их уравнениями вида:

Так, прямая в пространстве допускает параметрическое представление Винтовая линия – параметрическое представление .

Для случая трёх переменных х, у и z, связанных зависимостью                      F (x, y, z)=0 (одну из них, например, z, можно рассматривать как неявную функцию двух других), геометрическим образом служит поверхность. Для того чтобы определить положение точки на ней, нужны два параметра u и υ (например, широта и долгота на поверхности шара), так что параметрическое представление имеет вид: х = φ(u, υ), у = ψ (u, υ); z = χ (u, υ). Например, для зависимости имеем параметрическое представление

Важнейшими преимуществами параметрических представлений являются:

1) то, что они дают возможность изучать неявные функции и в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров затруднителен;

2) то, что здесь удаётся выражать многозначные функции посредством однозначных.

Вопросы параметрического представления изучены особенно хорошо для аналитических функций. Параметрическое представление аналитических функций посредством однозначных аналитических функций составляет предмет теории униформизации.

Рассмотрим параметрическое представление функции.

Предположим, что функциональная зависимость  y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину –t. Тогда формулы

задают параметрическое  представление функции одной  переменной

Если предположить, что  обе эти функции φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается через параметрическое:

и производная функции  может быть вычислена как

Параметрическое представление  даёт такое важное преимущество, что  позволяет изучать неявные функции  в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через  параметры, затруднительно.

Пусть зависимость между  аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

                     (1.1)

где t – вспомогательная  переменная, называемая параметром.

Найдем производную  , считая, что функции (2.1) имеют производные и что функция имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции

                        (1.2)

Функцию , определяемую параметрическими уравнениями (2.1), можно рассматривать как сложную функцию , где . По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

C учетом равенства (1.2) получаем

Полученная формула  позволяет находить производную    от функции, заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

 

2. Построение графика  параметрически заданной функции

Построим кривую , заданную следующей системой уравнений:

1. Область существования, ее границы.

Граничные значения параметра: .

2. Точки пересечения с осями координат. Очевидно, кривая пересекает оси координат в начале координат и других общих с осями координат точек не имеет.

3.Интервалы постоянства знака координат точек кривой.

При  – кривая расположена слева от оси Оу.

При   – кривая расположена справа от оси Оу.

При – кривая расположена ниже оси Ох.

При – кривая расположена выше оси Ох.

4. Особая точка.

Необходимые условия  особой точки

выполняются при t = 0, т.е. в начале координат. Исследуем поведение кривой в окрестности этой точки. Угловой коэффициент касательной

показывает, что касательная  горизонтальна, т.е. совпадает с осью Ох. Поскольку , то функция x(t) имеет при t = 0 минимум, и кривая расположена справа от оси Оу. Начало координат служит для кривой точкой возврата первого рода. При кривая расположена под касательной, а при – над касательной.

5 Точки перегиба.

Необходимое условие  точки перегиба после упрощений сводится к уравнению 4-й степени:

Можно искать корни этого уравнения, используя, например, метод Феррари. Однако в нашем случае нет необходимости заниматься этой работой столь углубленно. Возвращаясь к записанному выше уравнению, имеем:

Так как  обращается в нуль при , то имеет два экстремума — максимум при t = t₁ и минимум при t = t₂. Поскольку , то уравнение   имеет единственный корень, и следовательно, функция  имеет единственный экстремум. А так как при , и вместе с тем существует область отрицательных значений многочлена  (например, ), то уравнение имеет два действительных корня, которые, как нетрудно проверить, принадлежат интервалам и (4,5). Определяемые этими значениями I две точки перегиба легко «угадываются» по остальным свойствам кривой.

Остается начертить  кривую, свойства которой обнаружены в ходе проведенного в пунктах 1-5 исследования.

 

 

 

Заключение:

Параметрическое задание кривой (или функции) является, вообще говоря, менее удобным по сравнению с явным или неявным заданием, так как при этом приходится исследовать два уравнения, а не одно (у = f(х) в случае явного задания и F(x,у) = 0 в случае неявного задания). Важно отметить, что такое исследование необходимо проводить совместно – разрозненные результаты, относящиеся лишь к одному из уравнений системы, особой ценности не представляют.

При параметрическом задании в правых частях содержится параметр t, остальные члены имеют четко выраженный геометрический смысл: (x₀; y₀) – координаты некоторой («начальной») точки М₀ прямой l, ( ) – координаты направляющего вектора в базисе . Этим способом тоже можно задать любую прямую плоскости. Возможность выбирать начальную точку и направляющий вектор разными способами приводит к семейству различных параметрических уравнений одной и той же прямой в данной системе координат. Однако эта неопределенность не должна восприниматься как недостаток такое разнообразие нередко облегчает решение задачи. Координаты х и у при параметрическом задании равноправны.

 

Список литературы:

 

1)Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. - М.: Наука, 1985. - 281 с.

2)Бохан К.А. Курс математического анализа / К. А. Бохан. - М.: Просвещение, 1972. - 216 с.

3)Виленкин Н.Я. Задачник по курсу математического анализа / Н.Я. Виленкин. - М.: Просвещение, 1971. - 268 с.

4)Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1  / Г.М. Фихтенгольц. - М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001