Платоновы тела

1

П Л А Т О Н О В Ы   Т Е Л А

                                                       Выполнил: ученик 7 «А» класса

                                                                                                          Крагель Николай 

                                                                                               Учитель: Крагель Татьяна Петровна          

г.Старый Оскол

2006 год

П Л А Т О Н  О В Ы    Т Е Л А

                   Многоугольник называют правильным, если у него равны стороны и углы . Примерно так  определяются и правильные многогранники.

                     Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани- равные правильные многоугольники и двухгранные углы при всех рёбрах равны между собой.

                     Правильных многоугольников бесконечно много. Правильных многогранников всего пять. По числу граней их называют тетраэдр (четырехгранник), гексаэдр (шестигранник или куб), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник) и икосаэдр (двадцатигранник).  

Тетраэдр                       Куб                       Октаэдр          Додекаэдр         Икосаэдр

                     То что каждый из них выпуклый, легко проверить экспериментально: подержите в руках каждую модель и прислоните ладонь к каждой грани фигуры. Вы убедились, что вся фигура оказалась по одну сторону от ладони? Касаясь любой грани ладонью и мысленно проведя через ладонь плоскость, вы увидите, что эта воображаемая плоскость нигде не разрежет ни одну из рассматриваемых фигур. Проверить равенство рёбер и плоских углов можно простым измерением с помощью линейки и транспортира.

              Правильные многогранники обладают различными видами симметрии, поэтому в древности их называли «идеальными», «космическими» телами.

                    Правильные многогранники называют также Платоновыми телами хотя их знали пифагорейцы за несколько веков до Платона. В диалоге «Тимей» Платон связал их с четырьмя основными элементами. Он считал, что куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр имеют форму корпускул земли, огня, воздуха и воды соответственно. Пятый же многогранник он считал моделью всей Вселенной.

              Изучая  многогранники, можно подсчитать, сколько у них граней, ребер и вершин.

Подсчитаем число указанных элементов Платоновых тел и заполним таблицу.

              Зададим вопрос: «Нет ли какой нибудь закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?». Если рассматривать по отдельности каждый столбец, то закономерности нет. Но если рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, например «грани» и «вершины» (Г+В), и сравнить ее с числом в столбце «ребра» (Р), то оказывается, закономерность есть. Ее видно из следующей таблицы.

              Сформулируем эту закономерность так:

      «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2.

              Итак, мы «открыли» формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

                  Теория правильных многоугольников и многогранников – один из самых увлекательных и ярких разделов математики. Но закономерности, открытые математиками, удивительным образом связаны с симметрией живой и неживой природы – с формами различных кристаллов, точной формой вирусов, с современными теориями в физике, биологии и других областях знания. Так, например, вершины снежинки всегда образуют правильный шестиугольник, а хорошо знакомый нам куб природа реализовала в форме кристаллов поваренной соли.

              Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской

глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но

простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.

              Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

              Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того, чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает такую же тень – икосаэдр.

              Некоторые кристаллы имеют форму правильных многогранников. Например, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра, кристаллы сернистого колчедана – форму додекаэдра, кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра, икосаэдр передает форму кристаллов бора.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1.                              Энциклопедия для детей Т.11.математика – М.:Аванта+,1998.

2.                              Виленкин Н.Я., Шибасов ЗЛ.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. М.,1996.

3.                              Дорофеев Г.В., Петерсон  Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3. 2002.

4.                              Шарыгин И.Ф., Ерганжиева  Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1998.